全国研究生考试数学二真题及答案解析-免积分资料.pdf

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （3）设 an0(n=1,2,)，Sn=a1+a2+an，则数列 (sn)有界是数列（ an）收敛的(A)充分必要条件 . (B)充分非必要条件 . （C）必要非充分条件 . （D）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na，则1nna为正项级数，Sn=a1+a2+an为正项级数1nna的前n项和正项级数前n项和有界与正向级数1nna收敛是充要条件故选A（4）设2kxkeIesinxdx(k=1,2,3),则有 D （A）I1 I2 I3. (B) I2 I2 I3. (C) I1 I3 I1, (D) I1 I20,( , )f x yy0,f(x1,y1) x2, y1 x2, y1y1. (C) x1 x2, y1 y2. (D) x1 y2. 【答案】：(D)【解析】：( , )0f x yx，( , )0f x yy表示函数( , )f x y关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。

因此，当1212,xxyy必有1122(,)(,)f x yf xy，故选 D 二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . （14）设,A B C是随机事件，,A C互不相容，1()2P AB,1()3P C,则()P ABC_答案】：34【解析】：由条件概率的定义，P ABCP AB CP C，其中121133P CP C，12P ABCP ABPABCP ABC，由于,A C互不相容，即AC，0P AC，又ABCAC，得0P ABC， 代入得12P ABC，故34PAB C.三、解答题：1523 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （15） （本题满分10 分）已知函数11( )sin,xf xxx，记0lim( )xaf x（I）求a的值（II ）若当0 x时，( )f xa是x的k阶无穷小，求k【解析】： （1）200011sinlim( )lim(1)lim11sinxxxxxf xxxx，即1a（2）,当0 x时，由11sin( )( )1sinsinxxf xaf xxxxx又因为 ,当0 x时，sinxx与316x等价，故1( )6f xax，即1k（16） （本题满分10 分）求22,2xyfx yxe的极值。

解析】：22,2xyfx yxe，先求函数的驻点.,0,0 xyfx yexfx yy，解得函数为驻点为,0e. 又,01,00,01xxxyyyAfeBfeCfe，所以20,0BACA，故,fx y在点,0e处取得极大值21,02fee.（17） （本题满分10 分）【解析】：（18） （本题满分10 分）【解析】：（19） （本题满分10 分）求微分方程xexfxfxf2)(2)()(的解 . 【解析】：对应的齐次线性微分方程的特征方程为022rr，特征根为2, 121rr，齐次微分方程的 通 解 为xxeCeCxf221)(. 设xAxexy)(*， 代 入 方 程 可 得 原 微 分 方 程 的 通 解 为xxxeeCeCxf32)(221。