流体力学 不可压缩理想流体的无旋运动.ppt

1第六章第六章 不可压缩理想流体的无旋运动不可压缩理想流体的无旋运动 §6–1 引言引言 §6–2 流体微团运动分析流体微团运动分析 §6 –3 无旋流动的速度势无旋流动的速度势 §6–4 平面流动的流函数平面流动的流函数 § 6–5 基本平面势流基本平面势流 § 6–6 势流的叠加原理势流的叠加原理2第六章第六章 不可压缩理想流体的无旋运动不可压缩理想流体的无旋运动§6-1 §6-1 引言引言 本章主要研究不可压缩理想流体平面无旋运动，平面无旋运动的速度场可通过计算速度势、流函数及复势这三条途径来确定3§6-2§6-2 流体微团运动分析流体微团运动分析 由理论力学可知，刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体运动则不同由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还有变形运动下面将分析流体微团的三种运动形式 如图6—1所示的平面运动中的流体微团。

设在 t 时刻流体微团为矩形ABCD，经过 时段后它移动到新的位置并变形为 ，又设 t 时刻角点A的速度为 ，根据泰勒级数展开，得B、C点的速度分别为4图 6—1 分析流体微团的平面运动 5 各点的速度中均包含有 ，由图6—1可见， 是平移速度 （1）线变形 以AB为例因为角点B沿 x 方向的速度比角点A快（或慢） ，所以经过 时段后，AB边在 x 方向的伸长（或缩短）量为 单位时间单位长度的线变形称为线变形速度，并记为 ，则1、平移运动、平移运动2、变形运动、变形运动（6—1）同理6 将平面上角变形速度之半定义为流体微团的剪切变形速度，记为 由图6-1可知，A点的角度变化为根据流体微团剪切变形速度的定义得（6—2）而所以（1）（2）（2）剪切变形7 将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团的旋转角速度，记为 ，假设直线逆时针方向旋转的角速度为正，则由（1）（2）式可知，单位时间内AB边的旋转角度为 ，单位时间内AC边的旋转角度为 ，根据流体微团旋转角速度的定义得 如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，即 ，则称该流动为无旋流动（势流）。

（6—3）3、旋转运动、旋转运动 定义：定义： 若流体微团有旋转运动，即 三者中至少有一个不 等于零，则称为有旋流动（有涡运动）8§6-3 §6-3 无旋流动的速度势无旋流动的速度势 无旋运动， 在直角坐标中必有（6—4） 式（6—4）是 为某一势函数 的全微分的充分必需条件，其中 t 为参变量，必有又因说明无旋必有势故 （6—5）9圆柱坐标系（6—6）球坐标系（6—7）10证 流速势函数流速势函数 的性质：的性质： （6—8）其中 —该方向的单位矢量；— 与梯度 的夹角；—速度在 方向的分量1、 对于任意方向 的方向导数等于该方向的分速，即11 流速势函数等于常数的曲面积为等势面。

在其面上位于等势面上的线称为等势线 所以式中—速度向量；—等势面上微元弧向量2、等势线与流线正交、等势线与流线正交 定义：定义：说明：速度u与ds正交等势线既是过流断面线 一族流线与等势线构成相互正交的流网123、流速势函数沿流线、流速势函数沿流线 s 方向增大方向增大 从而得由性质1得沿流线方向的速度为 沿流线方向速度 ，所以 ，即说明 值增大的方向与 s 方向相同134、流速势函数是调和函数、流速势函数是调和函数 代入不可压缩流体的连续方程中得从而得或者（6— 9）（6—10) 上式说明流速势函数 满足拉普拉斯 方程式，在数学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数 是调和函数平面势流中14§6-4 §6-4 平面流动的流函数平面流动的流函数一、流函数的定义及其确定一、流函数的定义及其确定 （6—11）即 它是使 成为某一函数 的全微分的充要条件，则有故（6—12）对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为15 就称为不可压缩流体平面流动的流函数。

类似地可证，在极坐标中（6—13） 因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以说任何平面流动中一定存在着一个流函数 16二、流函数的基本性质二、流函数的基本性质因为即 为流线方程 证：考察通过任意一条曲线AB（ z 方向为单位长度）的流量图6—2）对于通过微元矢量 的流量则通过AB两点的任意连线AB的流量（6—14）图6—2流函数与流量的关系 1、等流函数线为流线2、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差173、等流函数线（流线）与等势线正交、等流函数线（流线）与等势线正交 说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交 [例题例题6—1]不可压缩流体流场的流函数 （1）流动是无旋还是有旋？ （2）若无旋，确定流动的速度势 [解] （1）因故是无旋流 这是因为184、在平面无旋流动中、在平面无旋流动中流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。

证：平面无旋流动需满足则因为代入上式，平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为：19 在数学分析中，这个关系式称为柯西—黎曼条件，满足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一个函数就可以求出另一个函数20故（2）积分于是则21§6-5 §6-5 基本平面势流基本平面势流一、平行等速流一、平行等速流 流线方程或积分后得（6—15）它是一组斜率为 平等直线，如图6—3所示 图 6—3 平 行 等 速 流 设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方向均相同，即 均为定值22而流函数为由于于是，速度势为又（6—16）（6—17）23 流体从某一点径向流出称为源，如图6—4（a）所示 流体从某一点径向流入称为汇，如图6—4（b）所示 设半径 r 方向水层的厚度为1，源（汇）的流量为Q，则由此（ a ）（ b ）图 6 — 4 源 与 汇二、源流汇二、源流汇 定义：定义：24 由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量 。

在极坐标中，由式（6—6）积分得（6—18）由式（6—13） 积分得 式中 分别是关于 的积分常数，根据上面两个应该相等，得25 式中 分别是关于 的积分常数，由两个 应该相等，得（6—19）故 假定流出流量为正，则源流取“ ”号，汇流取“-”号源汇流的等势线为一组同心圆26 现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度 ，而径向速度 如图6—5所示，并且定义速度 在圆周切线上的线积分为速度环量 ，即三、势涡流三、势涡流所以由式（6—6）（6—20）积分得27由此得积分得（6—21）等势线是一族射线图6—4（a）势涡流28 若将位于 点，强度为Q的源与位于B 点等强度的汇叠加（图6—5）令 分别为源与汇的速度势和流函数，则叠加后某点 的速度势（6—22）流函数（6—23）四、源与汇叠加四、源与汇叠加图 6—5 源与汇 29§6-6 §6-6 势流的叠加原理势流的叠加原理 由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。

设有两个势流，其速度势分别为 ，则（6—24） 此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势流，其速度势（6—25）30因为（6—26）即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量（6—27）同理可证明，新的复合流动的流函数 （6—28）31 叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势流速度的矢量和势流的叠加原理：势流的叠加原理：3233。