量子力学习题集及答案(共13页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上09光信息量子力学习题集一、填空题1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125 ）2． 索末菲的量子化条件为（ ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级（ ）3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ）和（ ）4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为=（ ）， （ ）5． 动量算符的归一化本征态（ ），（ ）6． t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（ ）7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（ ），几率流密度=（ ）8． 设描写粒子的状态，是（ 粒子的几率密度 ），在中的平均值为=（ ）9． 波函数和是描写（ 同一 ）状态，中的称为（ 相因子 ），不影响波函数的归一化，因为（ ）10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态11． 是定态的条件是（ ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。

14． 3．t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（ ）15． 粒子处在的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为（ ），第一激发态的波函数为（ ）16． 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ ）17． 一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ）、第一激发态的波函数为（ ）18． （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）19． 一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）20． 一维线性谐振子第n个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原子的第n个能级的简并度为（ 2n2 ）21． 氢原子的状态为，角动量平方是（ ）、角动量分量是（ ）22． 厄密算符的定义是：对于两任意函数和, 等式（ ）成立23． 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）24． 力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。

26． 算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在表象中=（ ）27． 如果[]=0，则存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，的共同本征态是（ ）28． 如果存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[]=（ 0 ）， 的共同本征态是（ ）29． 对易子（ ），（ ）30． （ ），（ ），（ ）31． （ ） ），（ 0 ）32． 能量与时间的测不准关系是（ ），和的测不准关系是（ ）33． 在一维情况下，若粒子处于状态中，则在动量表象中的波函数为（ ）34． 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中，则在表象中一维线性谐振子的波函数为=（ （0，0，3/5，0，-4/5，0,…） ）35． 斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只能取两个值（ ）和（ ）36． =（ ），=（ ）37． =（ 0 ），[]=（ 0 ）38． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）39． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）40． 在表象中，，则在状态中，=（ ）41． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变 ）。

42． 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ）43． 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的44． 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数45． 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的46． 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的47． 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数――――――――――――――――――――――――――――――二、计算、证明题1．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数.解：当 当 令 得 ， 2．一粒子在一为势场中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数（准确解）。

解： 令 则 3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数（不必归一化）{ 提示：在态中 }解：当 当 令 得 有限， 4．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数解：1．当 当 令 得 ， 5．利用力学量算符本征函数的正交归一完全性，证明 式中，为本征值。

解： = = 6．求证：如果算符和有一组共同本征态，而且组成完全系，则算符和对易解：设任一波函数可展开为 ==. 7．求证：力学量算符的属于两个不同本征值的本征态相互正交解：设当时，. 代入 得 . . 8．证明力学量算符的本征值必为实数解：设 在 中 令 得 9．证明：力学量在任意态中的平均值为实数。

解：设已归一化，则 . 10．粒子处在的一维无限深势阱中的基态，设t=0时阱壁突然运动到，求此时粒子处于基态的几率 解： = 11．设粒子的状态为，求粒子动量和动能的可能值及相应的几率解： 由 得 ，（）动量的可能值为，对应几率为 动能的可能值为，对应几率为 12．求证：.证明： 13．求证：[]=.解：[]= 3分= = = = 14．求证：[]=, .解： []= = = 15．求的本征值和归一化本征态。

解： 16．在表象中，(1)。