2023年一元二次方程根的分布.pdf

学习必备 欢迎下载 一元二次方程根的分布 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布， 指的是方程的根相对于零的关系 比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实根为 x1，x2，且 x1≤x2 【定理 1】x1＞0，x2＞0  △＝b2－4ac≥0x1＋x2＝－ba＞0x1x2＝ca＞0， 推论：x1＞0，x2＞0  △＝b2－4ac≥0a＞0f(0) ＝c＞0b＜0或△＝b2－4ac≥0a＜0f(0) ＝c＜0b＞0 上述推论结合二次函数图象不难得到 xy02ab1x2x0aO0c0xy1x2xO0c0a02ab0 例 1：若一元二次方程( m－1) x2＋2( m＋1) x－m＝0 有两个正根，求 m 的取值范围 【定理 2】x1＜0，x2＜0  △＝b2－4ac≥0x1＋x2＝－ba＜0x1x2＝ca＞0， 学习必备 欢迎下载 推论：x1＜0，x2＜0  △＝b2－4ac≥0a＞0f(0) ＝c＞0b＞0或△＝b2－4ac≥0a＜0f(0) ＝c＜0b＜0 由二次函数图象易知它的正确性。

xy1x2x0aO0c002abxy1x2xO0c0a002ab 【定理 3】x1＜0＜x2  ca＜0 例 2： k在何范围内取值，一元二次方程 kx2＋3kx＋k－3＝0 有一个正根和一个负根？ 【定理 4】①x1＝0，x2＞0  c＝0 且ba＜0； ②x1＜0，x2＝0 c＝0 且ba＞0 xy1x2x0aO02abxy1x2x0aO02ab 者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程的两个实根为定理且推论围内取值一元二次方程有一个正根和一个负根定理且且学习必备欢迎下理相对于的位置有以下若干定理定理学习必备欢迎下载定理因为只要有学习必备 欢迎下载 xy1x2xO02ab0axy1x2x0aO02ab 例 3：若一元二次方程 kx2＋(2 k－1) x＋k－3＝0 有一根为零，则另一根是正根还是负根？ 二．一元二次方程根的非零分布——k 分布 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为 x1，x2，且 x1≤x2k为常数则一元二次方程根的 k分布（即 x1、x2相对于 k的位置）有以下若干定理。

【定理 1】k＜x1≤x2  △＝b2－4ac≥0af( k) ＞0－b2a＞k xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf 【定理 2】x1≤x2＜k  △＝b2－4ac≥0af( k) ＞0－b2a＜k 者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程的两个实根为定理且推论围内取值一元二次方程有一个正根和一个负根定理且且学习必备欢迎下理相对于的位置有以下若干定理定理学习必备欢迎下载定理因为只要有学习必备 欢迎下载 xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf 【定理 3】x1＜k＜x2  af( k) ＜0 【因为只要有这个条件，就意味着函数穿越了 x 轴，而 只要穿越 x 轴， 必然就有 2 个解， 导致不需要△不等式】 0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf 推论 1 x1＜0＜x2  ac＜0 推论 2 x1＜1＜x2  a( a＋b＋c) ＜0 【定理 4】有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜k2  f( k1) f( k2) ＜0 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf 【定理 5】k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2  a＞0f( k1) ＞0f( k2) ＜0f( p1) ＜0f( p2) ＞0或a＜0f( k1) ＜0f( k2) ＞0f( p1) ＞0f( p2) ＜0 者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程的两个实根为定理且推论围内取值一元二次方程有一个正根和一个负根定理且且学习必备欢迎下理相对于的位置有以下若干定理定理学习必备欢迎下载定理因为只要有学习必备 欢迎下载 【定理 6】k1＜x1≤x2＜k2  △＝b2－4ac≥0a＞0f( k1) ＞0f( k2) ＞0k1＜－b2a＜k2或△＝b2－4ac≥0a＜0f( k1) ＜0f( k2) ＜0k1＜－b2a＜k2 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2 三．例题解析 例：已知关于x的方程2(21)420xmxm ，求满足下列条件的m的取值范围. （1） 两个正根 （2）有两个负根 （3） 两个根都小于1 （4） 两个根都大于12 （5）一个根大于 2，一个根小于 2 （6） 两个根都在(0, 2)内 （7） 两个根有且仅有一个在(0, 2)内 者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程的两个实根为定理且推论围内取值一元二次方程有一个正根和一个负根定理且且学习必备欢迎下理相对于的位置有以下若干定理定理学习必备欢迎下载定理因为只要有学习必备 欢迎下载 （8）一个根在( 2,0)内，另一个根在(1,3)内 （9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （10）一个根小于 2，一个根大于 4 补充知识： 者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程的两个实根为定理且推论围内取值一元二次方程有一个正根和一个负根定理且且学习必备欢迎下理相对于的位置有以下若干定理定理学习必备欢迎下载定理因为只要有学习必备 欢迎下载 1.二次函数的解析式的三种形式 一般式：) 0(2acbxaxy；对称轴方程是2bxa ；顶点为24(,)24bacbaa； 两点式：))((21xxxxay；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ； 顶点式：hkxay2)(；对称轴方程是 ；顶点为 ； 2.一元二次函数的单调性： 当0a时： 为增函数； 为减函数； 当0a时： 为增函数； 为减函数； 3.二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的内在联系 （1）) 0(2acbxaxy的图象与x轴交点的横坐标是方程_______________的实根 (2) 若12,x x为方程( )0f x 的两实根，则函数( )f x的图象在x轴上截得的线段长应为 |21xx |=__________________________________________________ (3) 当_________________ 时，恒有( )0f x ； 当____________________ 时，恒有( )0f x . 反思与归纳： 者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程的两个实根为定理且推论围内取值一元二次方程有一个正根和一个负根定理且且学习必备欢迎下理相对于的位置有以下若干定理定理学习必备欢迎下载定理因为只要有学习必备 欢迎下载 者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程的两个实根为定理且推论围内取值一元二次方程有一个正根和一个负根定理且且学习必备欢迎下理相对于的位置有以下若干定理定理学习必备欢迎下载定理因为只要有。