信号与系统王明泉第二章习题解答.doc

第第 2 2 章章 线性时不变连续系统的时域分析线性时不变连续系统的时域分析2.12.1 学习要求学习要求 （1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程； （2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应， 瞬态响应与稳态响应； （3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解； （6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断 0 时刻的 跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积 ； 2.22.2 本章重点本章重点 （1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是函数形式与其它信号的卷积；( ) t（5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应 2.32.3 本章的知识结构本章的知识结构线性时不 变系统时域经典法系统微分方 程的求解系统微分方 程的建立特解齐次解卷积法零状态零输 入法零输入响应状态零状态响应输入单位冲激响应意义与求解卷积的求解性质与计算线性线性2.42.4 本章的内容摘要本章的内容摘要 2.4.12.4.1 系统微分方程的建立系统微分方程的建立电阻： )(1)(tvRtiRR电感： dttdiLtvL L)()()(d)(1)(0tivLtiLtLL电容： dttdvCtiC C)()(ttLCCtiiCtv0)(d)(1)(02.4.22.4.2 系统微分方程的求解系统微分方程的求解 齐次解和特解。

齐次解为满足齐次方程t ntt hecececty321 21)(  当特征根有重根时，如有重根，则响应于的重根部分将有项，形如1k1kt kt ktktk hectecetcetcty1111 12 21 1)(  当特征根有一对单复根，即，则微分方程的齐次解bia 2, 1 btecbtectyatat hsincos)(21当特征根有一对重复根，即共有重的复根，则微分方程的齐次解mmiba 2, 1btetcbttecbtctyatm mat hcoscoscos)(1 21  btetdbttedbtedatm matatsinsinsin1 21  特解的函数形式与激励函数的形式有关激励函数)(tx响应函数的特解)(ty(常数)EBpt11 21ppppBtBtBtBLateatBetcos tsintBtBsincos21)cos( tetatp teDtDtDteBtBtBat pppat pppsin)(cos)(1111LL)sin( tetatp注:(1)表中、是待定系数。

BD(2)若由几种激励组合而成，则特解也为其相应的组合)(tx(3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项： 倍乘表中特解假t 如这种重复形式有次（特征为次） ，则依次增加倍乘 ，，…，诸项kkt2tkt2.4.32.4.3 起始点的跳变起始点的跳变- -从从到到状态的转换状态的转换00在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号加入后系统的状态变化区间一般)(tx激励都是从时刻加入，此时系统的响应区间定义为当系统用微分)(tx0tt0方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及00)(t其各阶导数项如果包含有及其各阶导数项，说明相应的到状态发生了跳变，)(t00即或等等这时为确定、等状态，可以用)0()0( yy)0()0( ''  yy)0(y)0(' y冲激函数匹配法 2.4.42.4.4 系统的零输入响应与零状态响应系统的零输入响应与零状态响应 （（1 1）零输入响应）零输入响应 系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应零输入响应是满足)(tyzi0)()()()(0)1( 1)1( 1)(   tyatyatyatyan nn n及起始状态的解,它是齐次解的一部分)0()( ky) 110(  ，n，，k nkt zikzikecty1)(由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变，，所以)0()0()()( kkyy中的常数可由确定。

)(tyzizikc)0()( ky（（2 2）零状态响应）零状态响应所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即0)0()0()0()1()1( nyyyL这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应)(tyzs零状态响应由起始状态为零时的方程)(tyzs      1100)0()()()()()()()()()(011101111，n，，kytxbtxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydakmmmmnnnnnn所确定系统的零状态响应为)(tyzs)()()(tytytyzspzshzs其中和分别为齐次解和特解)(tyzsh)(tyzsp系统的线性：系统的线性： 条件 1 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和 条件 2 零输入线性，即零输入响应与初始状态或之间满足线性特性)0(x)0(x条件 3 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性 2.2.52.2.5 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应连续时间系统的冲激响应与阶跃响应 （（1 1）冲激响应）冲激响应系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响)(t应，用表示。

亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号时系统的零状态响应)(th)(t在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积因果系统的冲激响应为 0)(th0t（（2 2）阶跃响应）阶跃响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示阶跃响应是激励为单位阶跃函数时，系统)(tg)(tu的零状态响应阶跃响应与冲激响应之间的关系为 )(tg)(th或 dhtgt)()()()(tgdtdth2.2.62.2.6 卷积积分卷积积分 （（1 1）卷积积分的概念）卷积积分的概念一般情况下，如有两个信号和做运算)(1tf)(2tfd)()()(21tffty此运算定义为和的卷积(Convolution)，简记为 )(1tf)(2tf或 )()()(21tftfty)()()(21tftfty（（2 2）卷积积分的图解法）卷积积分的图解法 用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念两个信号和的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：)(1tf)(2tf第一步，画出和波形，将波形图中的 轴改换成轴，分别得到和)(1tf)(2tft)(1f的波形。

)(2f第二步，将)波形以纵轴为中心轴翻转 180°，得到波形 )(2f)(2f第三步，给定一个 值，将波形沿轴平移在时，波形往左移，在t)(2ft0t时，波形往右移，这样就得到了的波形 0t)(2tf第四步，将和相乘，得到卷积积分式中的被积函数 )(1f)(2tf)()(21tff第五步，计算乘积信号波形与轴之间包含的净面积)()(21tff第六步，令变量 在范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积t),(信号)()(21tftf（（3 3）卷积运算的性质）卷积运算的性质 性质 1 乘法运算中的交换律、结合律和结合律适应于卷积运算交换律 )()()()(1221tftftftf结合律 )()]()([)]()([)(321321tftftftftftf分配律)()()()()]()([)(3121321tftftftftftftf性质 2 信号与奇异信号的卷积 信号与冲激信号的卷积等于信号本身，即 )()()(tfttf)()()(00ttftttf信号与冲激偶的卷积等于的导函数，即)(tf)('t)(tf)()()(''tfttf信号与阶跃信号的卷积等于信号的积分,即)(tf)(tu)(tfdftutft)()()(性质 3 卷积的微分与积分如果，则有 )()()(21tftfty)()()()()(2' 1' 21'tftftftfty如果，则)()()(21tftfty。

tttdftfdftfdy)()()()()(1221设，则有 )()()(21tftfty)()()()( 2)( 1)(tftftyjiji2.2.72.2.7 用卷积积分法求系统的零状态响应用卷积积分法求系统的零状态响应对于任一时刻 系统的零状态响应为 ttzsdthxty 0)()()(2.2.82.2.8 相关相关如果和是两个能量有限的信号，且均为实函数，则它们之间的相关函数)(1tf)(2tf（又称为互相关函数）定义为121212( )( )()()( )dRf t f tdtf tftt和 212112( )( )()( )()Rf t f tdtf t f tdt互相关性质：)()(2112 RR当和是同一个信号时，即，则它们之间的相关函数)(1tf)(2tf)()()(21tftftf（又称为自相关函数）定义为( )( ) ()() ( )Rf t f tdtf tf t dt自相关函数性质：（1）)()( RR（2）时，相关性最强，最大。

0t 0R如果和是功率有限信号，且均为实函数，那么互相关函数定义为)(1tf)(2tf21212112)()(1lim)(dttftfTR T和    221221d)()(1lim)(TTTttftfTR自相关函数定义为2121)()(1lim)(dttftfTR T2.2.92.2.9 用算子符号表示微分方程用算子符号表示微分方程 （（1 1）算子符号的基本性质）算子符号的基本性质 和积分用下述算子符号表示 dtdp tdp)(1式中，称为微分算子，称为微分逆算子或积分算子这样，可以应用微分或积分算子pp1简化表示微分和积分运算例如 )()(txdtdtpf)()(txdtdtfpn ntdxtfp)()(1对于微分方程式(2-4)则可表示为)()()()(011 1tyatpyatypatypan nn n   )()()()(011 1txbtpxbtxpbtxpbm mm m   性质 1 以的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和p 因式分解。

性质 2 设A(p)和B(p)是的正幂多项式，则 p)()()()()()(txpApBtxpBpA性质 3 微分算子方程等号两边的公因式不能随便消去。