二次函数知识点梳理及经典练习(超详细).doc

二次函数知识点梳理及经典练习【知识点梳理】一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.的性质：（上加下减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3. 的性质：（左加右减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：方法2：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位， 变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位， 变成 （或）2. 平移规律： “值正右移，负左移；值正上移，负下移”．即“左加右减，上加下减”．四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点、（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1.二次函数解析式表示方法：（1）一般式：（，，为常数，）；（2）顶点式：（，，为常数，）；（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般有如下几种情况：（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数: ．⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结：决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口大小．2. 一次项系数: 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．▲符号判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，即“左同右异”.3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结：决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称： 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称： 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称： 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．5. 关于点对称： 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图像与轴的交点个数：（1） 当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. （2）当时，图像与轴只有一个交点； （3）当时，图像与轴没有交点.①当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；②当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图像的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图像关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.【基础题型概览】一、二次函数的基本概念1、y=mxm2+3m+2是二次函数，则m的值为（ ） A、0，-3 B、0，3 C、0 D、-32、关于二次函数y=ax2+b，命题正确的是（ ） A、若a>0,则y随x增大而增大 B、x>0时y随x增大而增大。

C、若x>0时，y随x增大而增大 D、若a>0则y有最大值3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 二、简单作图1、抛物线，五点法作图 2、y=ax2+bx+c，a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出大致图象三、二次函数的三种表达形式，求解析式1、抛物线过（0，2），（1，1），（3，5），求解析式2、当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7），求解析式3、抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线，且在x轴上截取长度为的线段，求解析式四、图像与a,b,c的符号之间的关系1、二次函数的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（） A．ab＜0 B、bc＜0 C．a+b＋c＞0 D．a－b十c＜0 2、已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：1图4Oxy3④，其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）1OxyyxOyxOB．C．yxOA．yxOD．4、已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C．一、三、四象限 D.一、二、三、四象限O5、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0.②该函数的图象关于直线对称. ③当时，函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0五、二次函数的性质：顶点、对称轴、最值1、抛物线的顶点坐标为( ).（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）2、向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax^2+bx。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？( ) (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 3、二次函数的最小值是（ ） A．2 B．1 C．－3 D． 4、已知二次函数 ， 为常数，当y达到最小值时，x的值为（ ）.（A） （B） （C） （D）5、当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口___________.六、平移问题1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A． B． C． D．2、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（　　）A． B． C． D．3、将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为A．1 B．2 C．3 D．4 4、把抛物线向左平移1个单位，然后。