转动惯量简易计算法.docx

本文利用转动惯量的平行轴定理，正交轴定理及初等数学的办法，计算了圆盘，球壳及球体的 转动惯量通常计算物体的转动惯量应用积分计算，下面将介绍一种运用两个基未定理和一特殊图形的简 易计算方法两个基本定理是:(1)平行轴定理刚体绕某定轴的惯量为I,等于绕通过其质心平行于转动轴的转动惯量I加上刚体的质量m和 两轴之间的距离d的平方之积即(2)正交轴定理簿板状刚体对板内两正交轴(Ox, oy)的转动惯量为L 1之和等于该刚体通过两轴(ox，oy)交 点垂直于板面的轴的转动惯量I即：转动惯量的定义是刚体上每一点的惯性质量(m,)与交轴距离的平方积，然后取和即:根据转动惯量定义很容易得到 圆环的中心轴的转动惯量为mr2,其中m为圆环的质量，r为圆环的半径又依据定理2很容 易求得在圆环平面内的转轴，圆环对此轴的转动惯量为「二「’去巾厂 容易证明:质量为m长为21的均质棒绕其中心转动时，其转动惯量为【二 下而将利用上述两个定理及下述两个简单图形的转动惯量计算较为复杂的薄板，球壳，球的转 动惯量让我们把它们之间的任一个分为簿的断面，每一个断面的厚度为厶^, _住垂直于ox轴(见图I 代 表 的 球 壳 和 球 ) 关 于 ox 轴 的 断 面 的 转 动 惯 量 是 ( 见 图 2)△匚图1把球和球壳分成许多厚废 为Z\x i质蚩为△过i的藩片©图2在球和球壳昭情况下，图1投彩 到xOy平面的图形◎在这里日是一个无量纲的常数，它取决于断面选定的形状。

Ami是此断面的质量，而yi是在 图 2 中标出来的大小，由于球壳和球是关于 ox 轴旋转对称，所以此公式适用于球壳及球的情形 利用定理I,我们可以得到此断面关于oy轴的转动惯量是为：X ：7 -r y / = R2Am ty /仝上RAIt i= a Am y ,£ + Am x L2 在这里a是无量纲的常数，取决于断面的惜形◎ 整体图影关于0心叮轴的转动愤量是分别为， I严和I产I Aly 1O 由于圆板，球壳，球体是关于0 Z轴旋转对称的我们得到U = Jf0即:V yI 严 i 卩△m ;y i2 = . gm 浮 J + Am 注 /〉= I 丁且利用;乂因为:所以:V v(1 + p - a) Am ,y i2 ~ Am ;x R 2 = mRx / + y 严=R' ( Const )由〔1》得*lx-Iy = U ( B「G ) Am I y jZ 一〒△'】］X x2 - 0即所以* 1 鸞 R2 (4)1 + p - a现在合理代入a和卩的大小,我们可以得到圆板，球壳,球体三种图形的转动惯量a) .对于圆板来说得到的斷面是简单均质棒所以它的B =号 a= 0代入公式(4》 Iz=U=-imRi运用定理2得：I z= 2 I产*mR2(b) 、对于球壳的断面是细环，所以P = 1a ~ g- ~ ~2' 代入⑷式得*IX = ly=号又因为球壳是中心对称则：[% = Ix= I T = ^mR2(O.对于球体的断面是圆盘。

所以B =却a =y=4 代入(4〉式得IX=U= ^inR2□又因为球休是中心对称则* I严= ^-mR2以上三种图形的转动惯量我们没有采用积分的办法，而是用简单初等数学办法求到 了确的答案£53对于球壳和球体它们之间有；a =月•的关系可以利用定理2加以证明简单的方法可求椭圆关于它的主轴的转动惯量让我们把椭圆分成如图3所示的情形I严彳号厶皿讶孑(5)在这里i-Am ,y /是平行于0 y轴 的棒的转型惧量3 l是i糙的厕囂, 2匚遇它雷透二同应门；也套篝壬刊 1 于0 X轴禹细棒的转初惯量的值，因此考 察定理1可得1严]△«!浮 / (6)对于同一椭圆而言，同一轴的转动惯 量相等即(5)式等于(6)式关于0*轴的转动惯量是已知的图3 •杷椭圆分成许多细条，用这 样的办法把0 x轴与j细条之间的距离 于垂直于0 x轴i细条长度的一半在这里厶巾f是张为2x 丫的j棒的质城，而y 是j棒和0 x轴两者之间的距离这两 者的求和办法可设:y *=y ! xi=x } 则厶x产△乂 i和 但Am s^Am))棒的质量正比于△m所占面积，于是*2 y1 兀ab△叫85筝卑沦在这里tn是椭圆的质量，而2跖2b是椭圆的长抽和短轴的大小 又因为椭圆方程为* 疳£+ 普 =1对椭圆方程求导，并用取代dx, Ay取代dy。

则，可以得到 x 3 i . yAy t_ n在上式中，因为是厚度，x/f是长度它们的乘积X iAx i, y：Ayi是正 的结果而现在它们之和为零，不符合事实，所以把上式中的正号，用负号取代得*<8)(9)X iAx i _ y y_i _ n a» ~b^~ _ U从方程＜7)和18)推出 △m -(兽)(”)△」利用方程(5)、(6)、(9)得到v b帛戈号：Am ijr tz - | Am iX iz (10)y运用椭圆方程，旦j Am (=m 和方程(10＞可以得到*I x- Am iy ,z = -i-mb3类似考虑关于0 7轴的转动惯量是I严十ma^由定理2知，关于垂直于0 x轴和0 y轴的转动0Z轴的转动惯量为 h=L+I,= + (a^ + b4)当a=b^r时，我们可以荻得熟悉的圆盘关于OZ转轴动惯量严。