上海市虹口区2025届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）(含答案).docx

上海市虹口区2025届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知,则“”是“”的________条件( )A.充要 B.充分非必要C.必要非充分 D.既非充分又非必要2．已知事件A和事件B满足,则下列说法正确的是( )A.事件A和事件B独立 B.事件A和事件B互斥C.事件A和事件B对立 D.事件A和事件B互斥3．已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O,若空间中的动点P满足,,则点P的轨迹所形成的几何体的体积为( )A. B. C.. D.4．设数列的前四项分别为,,,对于以下两个命题,说法正确的是( )①存在等比数列以及锐角,使成立.②对任意等差数列以及锐角,均不能使成立.A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题C.①是假命题,②是真命题 D.①是假命题,②是假命题二、填空题5．已知集合,,则_____________.6．函数的定义域是_____________.7．若,则______________.8．在的二项展开式中,项的系数为_______________.9．设且,则函数的图像恒过的定点坐标为______________.10．若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为______________.（结果保留）11．已知非零复数z满足,,则z的虚部为______________.12．已知,则的解集是____________.13．如图,已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2,且二面角的大小为,则______________.14．双曲线的左、右焦点分别为和,若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P,且,则的离心率为_____________.15．2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功,标志着中国空间站建设进入新阶段.在飞船竖直升空过程中,某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H,且在照片上飞船船体长度为h,比较两张照片,相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m.假设该记者连按拍照键间的反应时间为t,并忽略相机曝光时长,若用平均速度估算瞬时速度,则拍照时飞船的瞬时速度为_______________.（用含有H、h、m、t的式子表示）16．已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素,且相邻两项满足.若中任意两项都不相等,则满足条件的数列有______________个.三、解答题17．设.(1)当函数的最小正周期为时,求在上的最大值;(2)若,且在中,角A、B、C所对的边长为a、b、c,锐角A满足,,求a的最小值.18．如图,已知在四棱柱中,平面,N、M分别是、的中点.(1)求证：平面;(2)若底面为梯形,,,,异面直线与所成角为.求直线与平面所成角的正弦值.19．2024年法国奥运会落下帷幕.某平台为了解观众对本次奥运会的满意度,随机调查了本市1000名观众,得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分）,平台将评分分为,,,,共5层,绘制成频率分布直方图（如图1所示）.并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分,绘制成茎叶图,但由于某种原因茎叶图受到了污损,可见部分信息如图2所示.(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数;(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访,求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率;(3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67,方差为64.7,位于上的均值为73,方差为134.6,求这1000名观众的评分位于上的均值与方差.20．已知椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B,设P为上的一点.(1)当时,求的值;(2)若P点坐标为,则在上是否存在点Q使的面积为,若存在,请求出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)已知D点坐标为,过点P和点D的直线l与椭圆交于另一点T,当直线l与x轴和y轴均不平行时,有,求实数m的取值范围.21．设,,.若函数满足恒成立,则称函数具有性质.(1)判断是否具有性质,并说明理由;(2)设,若函数具有性质,求实数a的取值范围;(3)设函数的定义域为R,且对任意以及,都有.若当时,恒有.求证：函数对任意实数a均具有性质.参考答案1．答案：C解析：由题意,,由,即,则或,由,则,所以“”是“”的必要非充分条件.故选：C.2．答案：B解析：因为事件A和事件B满足,则一定可以得到事件A和事件B互斥,但不一定对立,故B正确,C错误;因为,当,不为0时,事件A和事件B不独立,故A错误;抛掷一枚骰子,记出现1点为事件A,出现2点为事件B,则,,显然事件和事件不互斥,故D错误.故选：B.3．答案：A解析：空间中的动点P满足,,则点P的轨迹是以,,为邻边的平行六面体,将正四面体放入如图所示的正方体中,则正四面体的内切球心O为正方体的中心,设正方体的棱长为a,所以,所以,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,所以,,,,,所以,,,,,,所以,所以,所以以,为邻边的平行四边形面积为：,设平面的法向量为,则,取,可得,,所以,,又因为点D到平面距离为,以,,为邻边的平行六面体的体积为：.故选：A.4．答案：A解析：对于①,若,,成等比数列,即,,则,即,得,在同一坐标系内作和的图象：可知方程,有且只有一解,所以存在等比数列以及锐角,使成立,①是真命题;对于②,假设存在等差数列以及锐角,使成立,则必有,当时,显然不成立;当时,,,所以,,所以,则,,即,即,因为,所以,,不存在这样的使得等式成立;当时,,,所以,,所以,同理,因为,所以,,不存在这样的使得等式成立;所以②是真命题.故选：A.5．答案：解析：由,,则.故答案为：.6．答案：解析：函数的定义域是,所以,解得：或.所以函数的定义域为：.故答案为：.7．答案：解析：因为,所以.故答案为：.8．答案：解析：二项式的通项公式为,令,可得,所以.故答案为：.9．答案：解析：令,可得恒成立,所以函数的图象恒过定点.故答案为：.10．答案：解析：因为圆锥的底面半径,高,设母线为,则,所以该圆锥的侧面积为.故答案为：.11．答案：解析：设,则,因为,,所以,解得或（舍去）,所以,则z的虚部为.故答案为：.12．答案：解析：因为,设,则,所以,所以,不等式,即或,解得或,综上可得的解集.故答案为：.13．答案：解析：设F,G分别为,的中点,连接,,在正三角形ABC中,,,在正方形BCDE中,,,,所以为二面角的平面角,即,.故答案为：.14．答案：解析：如图过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,设,因为是抛物线的焦点, , ,在中,由余弦定理得,,即,解得又和是双曲线的左、右焦点,,.故答案为：.15．答案：解析：设第二次拍照飞船的实际上升了x,所以,解得：,所以拍照时飞船的瞬时速度为：.故答案为：.16．答案：解析：由于,,可以先将1,2,3任意排列,再将4插入该数列,但不能在1的左边且与1相邻,共有种,再将5插入该数列,同样5不能在1和2的左边且与1,2相邻,共有种,再将6插入该数列,同样6不能在1,2和3的左边且与1,2,3相邻,共有种,以此类推,将10插入该数列,共有种.故答案为：.17．答案：(1)(2)解析：(1)因为且函数的最小正周期为,所以,解得,所以,则,由,则,所以当,即时取得最大值.(2)当时,,则,因为,所以,则,解得;因为,所以,由余弦定理,所以,所以,当且仅当时取等号,故a的最小值为.18．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)连接交于点O,连接,,在四棱柱中,四边形,为平行四边形,所以O为的中点,又N、M分别是、的中点,所以且,且,所以且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面;(2)因为异面直线与所成角为,又,所以即为异面直线与所成角,即,即,又平面,如图建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,取,设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.19．答案：(1)(2)(3)这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为,.解析：(1) ,第35百分位数为第7,8两个数的平方数(2)由图1可知,图2中有2人,所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访,求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件A,所以.(3)由题意可知：落在的频率为,落在的频率为,因为这1000名观众的评分位于上的均值为67,方差为64.7,位于上的均值为73,方差为134.6,所以,,,,设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为,所以,解得：,,解得：.这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为,.20．答案：(1)(2)存在;或(3)解析：(1)由椭圆方程知：,,,则,设,,解得：,即,由椭圆定义知：.(2)由(1)知：,,;若存在点Q,使的面积为,则点Q到直线的距离,,直线方程为：,即,设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为,,解得：或;当时,直线方程为,由得：,解得：或,或,点或;当时,直线方程为,由得：,方程无解,即直线与椭圆无交点,此时不存在满足题意的点Q;综上所述：存在满足条件的点Q,Q点坐标为或.(3)由题意可设直线,,,由得：,,即,,,设线段中点为G,则,,,又G为中点,,,,即,,直线l与x轴和y轴均不平行,,,,整理可得：,,,解得：,即实数m的取值范围为.21．答案：(1)具有,理由见解析(2)(3)证明见解析解析：(1)记,,显然,则其是偶函数.当时,,故,所以对恒成立,具有性质.(2),当时,严格单调递增,当时,严格单调递减.若,则,函数在上严格单调递增,恒成立,此时函数具有性质.若,则函数在上严格单调递减,,故函数不具有性质.若,则函数在上严格单调递增,“对恒成立”等价于“对恒成立”,而在上严格单调递减,在上严格单调递增,故,即,即.综上,a的取值范围是.(3)对任意及,都有,即对任意,,都有.假设存在使得不具有性质,则存在使得.若,则,.当时,则在中取,对任意,有,于是,即.而当时,,,故有,矛盾.当时,记,则,由得,得,故,.与当时同理可得矛盾.若,则,与时同理可得矛盾.综上,假设不成立,即函数对任意实数a均具有性质.。