1.2 映射与函数 反函数.docx

表 JX-1南京市高级技术学校教案首页授 课 日 期班 级课题： §1.2 映射与函数 反函数 教学目的、要求： 1.掌握映射与函数的概念 2.掌握反函数的概念教学重点：映射、函数、反函数的概念教学难点：如何运用概念解题授课方法： 讲解法教学参考及教具（含电教设备）：教参授课执行情况及分析板书设计或授课提纲:§1.2 映射与函数 反函数一、复习：1、集合、绝对值、区间的概念2、集合、绝对值、区间的运算三、新授：1、映射的概念及运算2、函数的概念及运算3、反函数的概念及运算四、练习：P9-9、10、11、12、13、14、15、16五、小结：1、映射的概念2、函数的概念3、反函数的概念六、作业：P-17、18、19、20表 JX-1南京市高级技术学校教案首页§1.2 映射与函数 反函数一、复习：1. 集合、绝对值、区间的概念；2．集合、绝对值、区间的特性二、引入：函数是数学始终的一个重要概念，是这门课程的基本推理工具熟练掌握初等函数的概念是学好高等数学的关键三、新授：1、映射：定义一： 设 A,B 是两个非空集合，如果按照一个确定的规则 f，对于集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则称 f 是由集合 A 到集合 B 的映射。

记作：f：A→B如果 A 中的元素 a，对应的是 B 中的元素 b，则称 b 为 a 的像，a 为 b 的原像在定义中，要注意按照规则 f 确定的集合 B 中的元素存在且是唯一的例如图 1.7（b） ，1.7（c）不表示由集合 A 到集合 B 的映射，因为图 1.7（b）中集合 A 的元素 a 对应集合 B 中的两个元素 b，c，不符合映射定义中唯一性的要求，而图1.7（c）中集合 A 的元素 在集合 B 中无元素对应，也不符合映2a射定义中存在性的要求，但要注意，图 1.7（d）所表示的是映射，尽管集合 A 中存在两个元素 对应集合 B 中的同一个元素 b，31但不违背映射的定义a) (b)5 分钟1 分钟55 分钟注意像的概念充分利用图像说明一一对应和一对多的关系表 JX-1南京市高级技术学校教案首页(c) (d)图 1.7例 1： 设 A 表示某一瞬间出生在地球上的人的集合，B 表示地球上每一点的坐标（经纬度）的集合，规则 f 是 A 中的人对应其出生地的坐标，则 f 是由 A 到 B 的映射。

例 2： 设 是除去 0 的自然数集合， 中所有大于 1 的元素*N*N集记为 A， 是所有正实数的集合，对应规则 f 是将 A 中元素取R对数（常用对数） ，则 f 是由 A 到 的映射R例 3： 设 A= ，对应规则 f 是将集合 A91|,31yBx中元素取平方，则 f 是由 A 到 B 的映射2、函数:定义二 ： 设 D 、B 为两个非空实数集合，对于数集 D 中的每一个数 x， 按照确定的对应规则 f ，对应着数集 B 中唯一的一个数 y，则称 f 是定义在集合 D 上的函数 .D 称为 f 的定义域，与 对应的实数 y，记作 x)(xf与 对应的 y 值有时记为0x集合称为函数的值域显然 Bf习惯上， x 称为自变量， y 称为 因变量要注意 f 是函数，f（x）是函数值但是研究函数总是通过函数值来进行的为了方便，以后也把 f（x）称作 x 的函数，或 y 是 x 的函数如果对于自变量 x 的某一个值 ，因变量 y 能够得到一个确0定的值，那么就称函数 f （ x） 在 x 处有定义理解函数与映射的区别注意：函数是一种映射关系事实上，函数就是集合 D 到集合 B 的一种映射注意：对于不同的函数，应用不同的记号，如 f（x） ，g（x） ，F(x),)( )(00xff或xBf),(表 JX-1南京市高级技术学校教案首页有时，会出现对于变量 x 的一个值，有几个 y 值与之对应的情形，根据函数定义，y 不是 x 的函数，但是为了方便，我们约定把这种情况称之为 y 是 x 的多值函数，对于多值函数通常是限制其 y 的变化范围使之成为单值，再进行研究，例如，反三角函数 是多值函数，当 y 限制在 时，就是单xArcsin 2x值了（这时习惯上称为主值，记作 ） 。

通过对arcsin的研究就可了解 xyarcsi xAy例 4:设函数 求 解 1 x- ()f24 )(1],)([,),0(2tftftf，: 1)(1,1)(,])([ ,)(,102442242 4824ttf tftt tf例 5:设 ，求3x)(xf解: 令 =t，则 x=t-312)3((ttf即 12)tf所以 (x例 6:设 ，证明：xfsin1)( )(xf证明 : 因为 xf sisi,)(所以G(x)换元时强调换元后的定义域表 JX-1南京市高级技术学校教案首页)(xf例 7:求函数 的定义域1lg4)(2xf解 : 这个函数是两项之和，所以当且仅当每项都有定义时，函数才有定义，每一项的定义域是 ，第二项的2|1xD定义域是 所以函数 f（x）的定义域是1|2xD,2|1X或写区间（1，2].3、 函数的表示法：函数有三种表示法：公式表示法、表格表示法和图形表示法图形表示法的优点是直观形象，一目了然，且可看到函数的变化趋势它的缺点是不便于分析研究表格表示法在设计工作中常用，它的优点是使用方便，如对数表，三角函数表，它的缺点也是不便于分析研究，公式表示法在理论研究中，推导论证中使用，它的优点是表达清晰，紧凑，缺点是抽象，不易理解。

4、 建立函数关系：寻找函数关系是高等数学所要研究的课题之一，在这儿我们仅介绍利用简单的几何或物理关系建立函数关系，在以后的一些章节中还将介绍利用微积分建立函数关系例 8：有一块边长为 a 的正方形铁皮，将它的四角剪去适当的大小相等的小正方形，制成一只无盖盒子，求盒子的体积与小正方形边长之间的函数关系解 ： 设剪去的小正方形的边长为 x，盒子的体积为 V，由图1.8，容易得到 V= )2,0()(2aa表 JX-1南京市高级技术学校教案首页xxaxa-2x图 1.8例 9：设有一圆锥容器，容器的底半径为 R 厘米，高为 H 厘米，现以 a 立方厘米每秒的速率往容器内注入水，试把容器中的水的容积 V 分别表示成时间 t 及水高 h 的函数（图 1.9）EB CDdDHh图 1.9解 （1）显然 t 秒时容器中水的容积为V=at（2）设当容器中水的高度为 h 时水的容积为 V，并设此时水面的半径为 r，根据锥形体积公式有)(3122HrR因为 ,所以有ADEBCphr即 )(HRr代入锥形体积公式，得表 JX-1南京市高级技术学校教案首页].,0[)1(332 HhHRV有时变量之间的函数关系较为复杂，需要用几个式子来表示，如下面的例 10例 10：如图 1.10 所示的图形，在 O 与 A 之间引一条平行于 y 轴的直线 MN，试将 MN 左边阴影部分的面积 S 表示为 x 的函数。

O M M 1 2 N C N D y=x x 图 1.10解： 当直线 MN 位于区间[0,1]内时，即 时，]1,0[xS= 21x当直线 MN 位于区间[1,2]内时，即 时，],[S= 的 面 积矩 形面 积 BCNMO= 21x21）（所以面积 S 为时当 时当 2,1 ,0 2x这是在定义域内不同区间上用不同式子表示的一个函数，这种形式的函数，称为分段函数，要注意它是用两个式子表示的函不能说原函数和反函数有交点则一定在y=x 上，启发学生举例反函数是一一映射，只有一一映射的函数表 JX-1南京市高级技术学校教案首页数，而不是两个函数5、 反函数：设函数 f 定义在数集 A，其值域为数集 B，若对于数集 B 中的每个数 y , 数集 A 中都有唯一的一个数 x 使 f (x) = y，记由 y 对应于 x 的规则为 ，则称 为 f 的反函数，也常称x= （y）是 y = f (x)的反函数，二者的图形是相同的，习惯上自变量用 x 表示，因变量用 y 表示，因此，也可说 y= （x）是 y = f (x)的反函数，但这时二者的图形是对称于直线 y=x。

求反函数的步骤一般是这样：从 y = f (x)中解出 x，得 x=（y）再将 x，y 分别换为 y，x即 y= （x）就是 y = f (x)的反函数例 11：求 y=3x-5 的反函数解 ： 解出 x，得）（ 5y31将 x，y 分别换为 y，x 得）（所以，y=3x-5 的反函数为 ）（ 5x31还有许多反函数的例子，如 y= 是 y= 的反函数，logaxy=arcsinx 是 y=sinx 的反函数等等四、小结：1、映射的概念2、函数的概念及性质3、反函数的概念五、练习：P9_9、10、13、14、15、16、17六、作业P9_习题 11、12、18、19、20才有反函数（适时在以后章节介绍反函数存在原理）5 分钟13 分钟1 分钟。