高一数学必修1第二章基本初等函数知识点整理.docx

必修 1 第二章基本初等函数 ( Ⅰ) 知识点整理〖2.1 〗指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念①如果 xna, a R, xR, n1，且 nN，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号n a表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na表示，负的n 次方根用符号na 表示； 0的 n；负数次方根是 0a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为任意实数；当n 为偶数时， a0 ．③根式的性质： (n a )na ；当 n 为奇数时， nana ；当 n 为偶数时，n an| a |a(a0)．a(a0)（ 2）分数指数幂的概念mn am (a①正数的正分数指数幂的意义是：an0, m, nN , 且 n1)． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数mmn ( 1) m (a指数幂的意义是：a n( 1 ) n0, m, n N, 且 n1) ．0 的负分数指数幂没有意义．注意口诀： 底aa数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质① ara sar s (a0, r , sR)② (ar ) sars ( a0, r , sR)③ (ab )rar br (a0, b0, rR)2.1.2 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 yax (a0 且 a1) 叫做指数函数a10a1yya xya xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxO x定义域R值域（ 0,+ ∞）过定点图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1 ．奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的＜ y＜1(x ＜ 0)y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y＜ 1(x ＞ 0)y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0变化情况a 变化对a 越大图象越高，越靠近y 轴；在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴；在第一象限内，图象的影a 越大图象越低，越靠近x 轴．a 越小图象越低，越靠近x 轴．在第二象限内，在第二象限内，响〖 2.2 〗对数函数【 2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义①若 axN ( a0,且 a1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x log a N ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlog a NaxN (a 0, a 1, N 0) ．（ 2）几个重要的对数恒等式 :log a 1 0 ， log a a1， log a abb ．（ 3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即 log10N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828 ⋯）．（ 4）对数的运算性质如果 a0, a1,M0, N0 ，那么①加法： log a M log a N log a (MN )M②减法： log a M log a N log aN③数乘： nlog a Mlog a M n (nR)④ alog a NN⑤ logn n log(0,)⑥换底公式： loga Nlogb N且b 1)bMnR(b 0,aba M blogb a【 2.2.2】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称对数函数定义函数 y log a x(a0 且 a1) 叫做对数函数a 10a1x1x1yy log a xyylog a x图象定义域值域O (1,0) x(1,0)O(0, )Rx过定点图象过定点(1,0) ，即当 x1时， y0．奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数log a x0(x1)log a x0(x1)函数值的log a x0(x1)log a x0(x1)变化情况log a x0(0x 1)log a x0(0x 1)a 变化对图在第一象限内， a 越大图象越靠低，越靠近x 轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x 轴象的影响在第四象限内， a 越大图象越靠高，越靠近y 轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y 轴(6) 反函数的概念设函数 yf (x) 的定义域为A ，值域为 C ，从式子 yf ( x) 中解出 x ，得式子 x( y) ．如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x( y) 表示 x 是 y 的函数，函数 x( y) 叫做函数 yf (x) 的反函数，记作 xf1( y) ，习惯上改写成 yf1 ( x) ．（ 7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf ( x) 中反解出 xf1( y) ；③将 xf1( y) 改写成 yf 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．（ 8）反函数的性质①原函数 yf (x) 与反函数 yf 1 ( x) 的图象关于直线yx 对称．②函数 yf ( x) 的定义域、值域分别是其反函数yf1 (x) 的值域、定义域．③若 P(a,b) 在原函数 yf (x) 的图象上，则P' (b, a) 在反函数 yf 1(x) 的图象上．④一般地，函数 y f (x) 要有反函数则它必须为单调函数．〖 2.3 〗幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质① 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 ．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 ．②过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在 [0,) 上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数为偶函数． 当q（其中 p, q 互质， p 和 qZ ），p若 p 为奇数 q 为奇数时，则 yx p 是奇函数，若p 为奇数 q 为偶数时，则 yx p 是偶函数，若p 为偶数 q 为奇数时，q则 yx p 是非奇非偶函数．。