【高中】高中不等式集.docx

精品资料 欢迎下载必修五第三章不等式——命题人：李发第一节不等关系与不等式与等量关系一样，不等量关系也是自然界中普遍存在着的一种基本的数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学争论和数学应用中也有重要作用 .那么，怎样来描述这种不等关系呢？在数学中，用不等式来表示这种不等关系 .一、不等式不等式的定义：用不等号 "、 、 、 、" 等表示不等关系的式子叫做不等式 ,而用 "、 " 号连接的不等式叫做严格不等式；用 " 、 " 号连接的不等式叫做非严格不等式 .两个不等式的关系：① f 〔 x〕 0 与g 〔 x〕 0 或f 〔 x〕 0 与 g 〔 x〕 0 叫做同向不等式；② f 〔 x〕 0 与g 〔 x〕 0 或g 〔 x〕 0 与f 〔 x〕 0 叫做异向不等式；同解不等式：解集相等的几个不等式叫做同解不等式 .证明不等式：证明不等式成立的过程叫做证明不等式 .二、不等式的基本性质：①（对称性） ： a b b a②（传递性） ： a b,b c a c ; a b, b c a c③（可加性）：不等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变 . a b a c b c ；【同向可加性：a b,c d a c b d ；异向可减性：a b, c d a c b d ； 】④（可积性） ： a b,c 0ac bc ； a b, c 0ac bc ；【同向且同正的不等式可以相乘，但不能相除：如a b 0, c d0 ，就 ac bd ； 】a b【异向同正不等式可以相除，但不能相乘：如a b 0,0c d ，就 ；】c d⑤（乘方法就） ： a b 0an b n 〔n N ,且n1〕 ——同正不等式⑥（开方法就） ： a b 0n a n b 〔 n N ,且n1〕 ——同正不等式a b⑦（同向正数可乘性） ：a b, c 0ac bc ；（异向正数可除性）a b 0,0 c dc d1 1 1 1 1 1 1 1⑧（倒数法就） ：a b0 ;a b 0【如 ab0, a b ，就；如 ab0, a b ，就 】a b a b a b a b例题讲解、1 、对于实数a, b, c 中，给出以下命题： ①如 a b ，就 ac2bc2 ；②如ac2bc2，就 a b ；③如 a b0，就 a2ab b2；④如 a b0，就 1 1a b1 1；⑤如 a b0，就b a；⑥如 a ba b0，就 a b ；⑦如 c a b0，就a b；c a c b⑧如 a b, ，就 a a b0,b0 .其中正确的命题是 （答：②③⑥⑦⑧） ；2 、已知 1x y 1 ， 1 x y3 ，就 3 x y 的取值范畴是 （答： 1 3x y7 ）；精品资料 欢迎下载3 、已知 ab c ，且 a b c0, 就c的取值范畴是 （答：a2, 1 ）2三、不等式大小比较的常用方法：有比较才有鉴别 .客观事物的不等关系最终都必需在两个实数的不等关系上 . 怎样描述两个实数的不等关系呢？在数学中，描述两个实数的不等关系，其形式为 a b、a b ，其解主要采纳的方法是比较法 .所谓比较法，就是通过两个实数 a 与 b 的差或商的符号（范畴）来确定 a 与 b 的大小关系的方法 .常见的方法有作差法和作商法 .1 、作差法： a b 0a b ； a b 0a b ； a b 0a b ；（作差 变形（分解因式、配方 判号 定论）a2 、作商法： 1ba b; a 1 baa b; 1ba b;（作商 变形 与 1 比较 定论）——用于分数指数幂的代数式3 、分析法：4 、平方法：5 、分子（或分母）有理化：6 、利用函数的单调性：7 、查找中间量或放缩法：8 、图象法：例题讲解：1 、设 a0且a1, t0 ，比较1 loga2t和log at 1 的大小2答：当 a1 时， 1log t log t 1 t 1时取等号） ；当 0 a 1时， 1 log t log t 1 （ t1时取等号）；a a（ a a2 2 2 22 、设 a2 ， p a1 ， qa 22 a 24a 2，试比较p, q 的大小（答： p q ）；精品资料 欢迎下载3 、比较 1+log x 3 与 2 logx 2〔 x0且x1〕 的大小答：当 02logx 2x 1 或 x4时， 1+3log x3 ＞ 2log x 2 ；当 1 x4时， 1 logx 3 2logx 2；当 x34时， 1+3logx 3 ＝其次节几种重要的不等式一、基本定理①定理 1 ：假如a , b R ，那么 a 2b2 2 ab （当且仅当 a b 时取 " " 号） .a b②定理 2 （基本不等式） ：假如 a0，b0 ，那么2ab .（当且仅当 a b 时取到等号） .——基本不等式给出了两个正数的和与积之间的不等关系，具有将“和式”化为“积式 ’ 以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，主要用于证明不等式 .制造使用基本不等式的条件的手段一般为：通过分别变量、拆项、配凑因式等，使和或积为定值，等号能够成立 .【变形公式：a b 2ab ， ab2a b . ——表述为两个正数的算 2术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均 .】用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要留意使用的三个条件“一正、二定、三相等 , 和定积最大，积定和最小” .③定理 3 （三个正数的算术—几何平均不等式） ：假如 a0， b0, c0 ，那么a b c 33 abc （当且仅当 a b c 时取到等号） .表述为三个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均 .例题讲解：精品资料 欢迎下载1 、以下命题中正确选项1x2 3A、 y x的最小值是 2 B 、 y〔xx2 2的最小值是 2C、 y2 3x4 x 0〕的最大值是 2 4 3 D、 y x2 3x4〔x x0〕的最小值是 2 4 3 （答： C）；2 、如 x2 y 1 ，就 2x4y 的最小值是 （答： 2 2 ）；3 、正数x, y 满意 x 2 y11，就x1 的最小值为 （答： 3 2 2 ）； y二、几个闻名不等式①平均不等式：文字语言：调和平均 几何平均 算术平均 平方平均 .符号语言：2a 1 b 1a b a2 b2ab2 2，（ a, b R，当且仅当 a b 时取 " " 号） .常用不等式有：① a、b、c R ， a 2 b 2 c2ab bc ca （当且仅当 a b c 时，取等号） ；②如 a b0, m0 ，就b b ma a m（糖水的浓度问题） .③ aba b 2 a2 b2a2b2;2 2〔a b〕2.2例题：假如正数 a 、 b 满意 ab a b 3 ，就 ab 的取值范畴是 （ 答： 9, ）②幂平均不等式：a a ... a 1 〔a a ... a 〕 .22221 2 n 1 2 nn2 2 2 2 2 2③二维形式的三角不等式：x1 y1 x2 y2 〔 x1 x2 〕 〔 y1 y2 〕〔x1,y1 , x2 , y2R〕.④二维形式的柯西不等式：〔 a 2b 2 〕〔 c2d 2 〕 〔ac bd 〕 2 〔a, b, c, d R〕. 当且仅当 ad bc 时，等号成立 .⑤三维形式的柯西不等式：〔 a 2 a 2 a 2 〕〔 b 2 b 2 b 2 〕 〔a b a b a b〕2 .1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3⑥一般形式的柯西不等式：〔a 2 a 2 ... a 2 〕〔b 2 b 2 ... b 2〕 〔a b a b ... a b 〕2.当且仅当 b0〔i1,2,n〕 ，1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n i或存在实数 k ，使 aikbi 〔i1,2,n〕 时，等号成立 .⑦向量形式的柯西不等式：设ur urur ur, 是两个向量，就ur ur ur urur, 当且仅当 是零向量，或存在实数 k ，使k 时，等号成立 .精品资料 欢迎下载⑧排序不等式（排序原理） ：设 a1a2 ...an , b1 b2...bn 为两组实数 . c1 , c2 ,..., cn 是 b1, b2 ,..., bn 的任一排列，就 a1bna2 bn 1...anb1a1c1a2c2...an cna1b1a2b2 ...an bn .（反序和 乱序和 次序和），当且仅当 a1a2 ...an 或 b1b2 ...bn 时，反序和等于次序和 .⑨琴生不等式（: 特例 :凸函数、凹函数）如定义在某区间上的函数f 〔x〕 ,对于定义域中任意两点x1 , x2 〔 x1x2 〕 ，x1 x2 f 〔 x1 〕f 〔 x2 〕x1 x2 f 〔 x1 〕f 〔x2 〕有 f 〔 。