积化和差和差化积专题(精选).doc

积化和差、和差化积专项三角函数的积化和差公式:ﻫ　 　　 　 ﻫ 　积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两个公式可合并为一种:ﻫ三角函数的和差化积公式：　 ﻫ 　ﻫ 　 　　 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是: 　①其中前两个公式可合并为一种：ｓin+ sin=2 sincｏsﻫ　　②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思想.ﻫ ③只有系数绝对值相似的同名函数的和与差,才干直接运用公式化成积的形式,如果一种正弦与一种　 余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积．　　④合一变形也是一种和差化积.ﻫ 　⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解,因此，因式分解在代数中起什么作用,和差化ﻫ 　　积公式在三角中就起什么作用.ﻫ　 积化和差与积差化积是一种孪生兄弟,不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用．如在一般状况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式,然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于:当和、积互化时，角度要重新组合，因此有也许产生特殊角;构造将变化，因此有也许产生互消项或互约因式,从而利于化简求值.正由于如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.典型例题： 　　例1.把下列各式化为和或差的形式：　 例2．求值:sin6°ｓｉn42°sin66°siｎ78°. 　　例3．ﻫ ﻫ　 例4．求值：ｃｏs2４°﹣sin6°﹣cos7２°ﻫ　 例5．求taｎ２０°+4sin20°的值.　ﻫ　　 例６．求值： ﻫ例7.已知ｓiｎ(Ａ+B)=,ｓin(A-B)=﹣，求值: 例8.求siｎ2２0°+cｏｓ２８0°+siｎ20°cos80°的值. 例9.试证：cos2（A-)+ｃos2(B﹣)-2cos(Ａ-B)cos(A－)ｃｏs(Ｂ－)的值与无关.　　　专项训练一一、基本过关１． 函数ｙ=cos x+ｃos的最大值是ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ( ）A．2 ﻩ ﻩﻩB．　　 ﻩC.　 ﻩ ﻩ D．2. 化简的成果是 ﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩ(　 )A.cot 2α ﻩﻩ ﻩ Ｂ.ｔan　２αC．cｏｔ α　 ﻩﻩﻩ ﻩ D．tan　α 3.ﻩ若cos（α＋β)cos（α－β)＝,则coｓ2α－sin2β等于ﻩﻩ ﻩﻩ （　 ）A.- 　ﻩﻩ B．－ ﻩﻩC． 　ﻩﻩ ﻩD.4.ﻩsｉｎ　20°cos 70°＋coｓ 40°cos 8０°的值为 ﻩ ﻩ (　 ）Ａ.　 ﻩ B. ﻩ ﻩﻩＣ. 　 ﻩ D．5．ﻩ的值是_______＿．６．ﻩ给出下列关系式：①sｉn 5θ＋siｎ 3θ＝2sin 8θｃｏｓ　2θ；②coｓ　3θ-cos 5θ=-2ｓin　4θsin θ;③ｓiｎ　３θ－ｓin 5θ=－cos 4θcos　θ;④sin 5θ＋cｏs　3θ＝2sin 4θcoｓ θ；⑤sｉn xsin ｙ=[cos（x-y)－cｏs(ｘ+y)］．其中对的的序号是_＿____＿_.7． 化简:.8． 在△ABC中，求证:sｉn A＋ｓin　Ｂ+sin C=4cos coｓ ｃos ．二、能力提高9． coｓ2α－cos αcoｓ(6０°＋α)＋siｎ2(30°-α）的值为 ﻩ ﻩ ﻩ( 　)A. ﻩﻩﻩB. C.　 ﻩﻩD.1０．已知cos2α－cｏs2β=ｍ,那么sin(α＋β）·sin(α-β)＝_＿_____＿.11.化简：tan 2０°+4sin 2０°．１2.已知cos α-cｏs β＝，ｓin　α-sｉｎ　β=-,求ｓin(α＋β)的值.三、探究与拓展1３．已知△ABC的三个内角A，Ｂ，C满足：A＋C＝２B，＋＝-,求ｃos 的值.专项训练二1．下列等式错误的是（　　)A.siｎ(A＋B）+sｉn(A-B)=２sｉｎAｃoｓB　 　 Ｂ．ｓin(Ａ+B)－ｓｉn（A-Ｂ)＝２cosAｓinＢＣ．ｃoｓ(A＋B）＋ｃoｓ(A－B)＝2coｓAcosＢ D.cos(A+B)-ｃｏs(A－B)＝2sｉｎAcoｓB2.sｉｎ１5°sin7５°=( 　）Ａ． 　 　　B. 　 Ｃ.　　 　　 D．１3.ｓin105°+sin1５°等于（ 　)A. 　 　 B. 　　 C. D．4.ｓiｎ3７.５°cos７.5°＝__＿___＿_.1．sin7０°cos20°－siｎ10°sｉｎ５0°的值为(　 ）A.　 　 B.　 　C.　 　 　Ｄ．2．cos72°-cos36°的值为(　 )Ａ．3－2 　 B. 　 　 C.－ 　　　 D．3＋23.在△ＡＢC中,若siｎAｓinB＝ｃoｓ２,则△AＢC是（　 ）A.等边三角形 　 B．等腰三角形 　 C.不等边三角形　　 Ｄ．直角三角形 4．函数y＝ｓincosx的最大值为( ）A. 　 B.　 　 　C.1　 　 　 D.5.若ｃｏs(α+β)coｓ（α－β)＝，则coｓ2α－sin2β等于(　　)A．－ 　 　　　 　 B．－ 　 Ｃ. 　 　 　 D.６．函数y=siｎ－sinx(x∈［0,])的值域是( )A.[-2,2] 　 　 B. 　 C．　 　　 D.7.cｏs2７5°＋cos215°＋cｏｓ75°·cos1５°的值等于＿__＿____.８.已知α-β＝，且cosα＋cosβ＝,则coｓ（α+β）等于____＿_＿_． 9．函数y=cosｃos的最大值是_＿＿_＿＿．10.化简下列各式:(1)； 　 　　 　 　 　　 　(2).11. 在△ABＣ中,若B=30°，求cosAsｉｎＣ的取值范畴．　12.已知f(x)＝－+,x∈(0,π）．(1)将f(x）表达到ｃoｓx的多项式；（２)求f（x)的最小值．答案1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C对的．2解析：选B.sin15°sin75°=－［cos（15°＋7５°)－cos(15°-7５°)]=－（cos90°-cos60°)＝－(0－)=.3解析：选C．sin1０５°+sｉn15°＝2ｓincｏs＝2sin60°ｃoｓ45°=.答案：＝=.=（siｎ45°＋siｎ30°)4解析:ｓin３7．５°coｓ7．5°＝［ｓin(37.5°+7．5°）+sｉn(３7.5°－7．5°)]5解析:选A.sｉn7０°ｃos２0°－siｎ10°sin50°＝(sin90°+siｎ5０°）+(cos６０°-cos４０°)＝+sin50°＋－ｃos40°＝．６解析:选C．原式=-2sｉnsin＝－２sｉn5４°·siｎ１8°＝-2cｏs36°ｃｏｓ72°=－2·＝－=-＝-,故选Ｃ．７解析:选B．由已知等式得[cｏs（A-B)－coｓ(A+B)]=(1＋cosＣ),又A＋Ｂ=π－C.因此cos(A-Ｂ)-cｏs(π-C)=１＋ｃoｓC.因此cos(Ａ－B)=1,又－π