信号与系统第一章第2讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,1,*,1.5 基本信号及其时域特性,基本信号,：所谓基本信号，是指工程实际与理论研究中经常用到的信号这些函数的,波形,和,时间函数表达式,都十分简洁本节先介绍几种常用的连续信号，再介绍,奇异函数用这些信号可以组成一些复杂波形的信号,,1,一、表示常用信号的连续函数,正弦函数,f(t),A,T,式中A、,、分别为正弦信号的振幅、角频率、初相位,,2,无时限信号,正弦信号的性质：,周期信号，T=2,/,对它进行微分或积分运算后，仍是同频率的正弦函数,指数函数,其中A，a均为常数,a=0,f(t),a>0,a<0,t,0,A,,3,指数函数的性质：,对指数函数的微分或积分，仍是指数函数形式,抽样函数,Sa(t),1,0,2,,-2,-,抽样函数的性质：,为偶函数，且在t=, ，2 ， 3…时，函数值为0,,4,t的正负两方向，函数值逐渐衰减,Sa(t),1,0,2,,-2,-,,5,钟形脉冲函数（高斯函数）,0,t,f(t),E,是单调下降的偶函数,钟形脉冲的性质：,,以上是表示常用信号的连续函数，还有一类基本信号，本身有简单的数学形式，但其本身、或其导数、或其积分有不连续点。

即,奇异信号,,6,二、奇异信号,定义：,奇异信号,是一类特殊的连续时间信号，,其函数本身,有不连续点（跳变点），,或,其函数的,导数与积分有不连续点,常见的奇异信号：,单位斜坡函数,，,单位阶跃函数,，和,单位冲激函数,等它们是从实际信号中抽象出来的理想化了的信号，在信号与系统分析中占有很重要的地位7,1、单位斜坡函数,R(t),1,1,t,1,t,0,t,R(t-t,0,),,定义：从t=0开始，随后具有单位斜率的时间函数它的导数在t=0处不连续如果将起始点移至t,0,，则,,8,2、单位阶跃函数,定义：零时刻前，函数值为0，随后值为1在t=0处未定义有些书中将t=0处定义为1/21,0,u(t),t,1,0,u(t-t,0,),t,t,0,若跳变点移至t,0,，则,,9,单位阶跃函数,的特性：,单位阶跃函数的积分是单位斜坡函数,单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数,,10,单位阶跃函数的接入特性：,,在实际应用中，常用单位阶跃信号与某函数的乘积来表示信号的接入特性,信号在t,0,时刻接入：,sin,tu(t),0,t,sin,（t)u(t-t,0,),t,t,0,0,,11,门函数——单位阶跃函数的派生函数：,1,0,u(t),t,t,0,u(t),与-u(t-t,0,),叠加，得到矩形脉冲,门函数与任意函数相乘，在,,外为0，在内为f(t),1,0,G(t),t,t,0,,,12,符号函数——单位阶跃函数的派生函数：,2,0,2u(t),t,1,0,sgn(t),t,在此，符号函数在跳变点也不予定义。

有些书中规定sgn(0)=0,,13,3、,单位冲激函数,(t),冲激函数,是对于,作用时间极短,，而,相应物理量强度极大,的物理过程的理想描述例如物体在受到短时冲击力F的作用，如果冲量F,t为常数，当t趋于0时，冲击力F趋于无穷大,以这样一类现象为背景，抽象出“,单位冲激函数,”或称“,函数,”，用它来描述上述物理现象,14,单位冲激函数可视为,幅度,与,脉宽,,的,乘积,（,矩形的面积,）,为1个单位,的矩形脉冲当趋于0时，脉冲的幅度趋于无穷大冲激函数定义：,矩形脉冲演变为冲激函数,t,G(t),0,t,0,(1),(t),0,,15,因此，,(t),为,狄拉克（Dirac）定义,满足狄拉克条件：,,16,t,0,(1),(t),,图中(1)表示,强度,为1，或称,所围面积,为1，而不是指幅值为1定义中没有给出t=0时刻的函数值，可见它不是通常意义下的函数，称为“,广义函数,”函数有多种定义方法，其中根据广义函数的定义，是严格的数学定义17,t,0,(1),(t-t,0,),t,0,若冲激点在t=t,0,处，则定义式为：,单位冲激函数,的特性：,单位冲激函数,的积分是,单位阶跃函数,,18,由定义知 当t<0时,当t>0时,所以,函数的积分为：,,19,所以， u(t)与,函数的关系为,或,u(t)在t=0处是不连续的，按经典的函数可微性来判断，上式是无法理解的。

广义函数把经典的函数微分及其概念加以推广，使,函数及其它奇异函数的定义与特性有了严格的理论基础20,连续函数,f(t),与,单位冲激函数,的乘积等于,冲,,,激点的函数值,与,(t),相乘,若冲激点在t,0,处，且,f(t),在t,0,处连续，则,证明：因为在t,0（或,t,t,0,）处，(t)（或(t-t,0,)）为0，所以上式成立21,筛选特性：,单位冲激函数,与连续函数,f(t),,的乘积的积分等于,冲激点的函数值,或,证明：,(t),在t0处为0,,22,尺度变换：,证明：,1、当a>0,时，令,=at,,23,1、当a<0,时，令,=at,,24,奇偶性,：,证明：,当a=-1时，由尺度变换公式可得,4、单位冲激偶,'(t),定义：单位冲激偶就是单位冲激函数的导数，表达式为：,,25,它在t=0处有一对正负冲激函数，其强度都为无穷大利用矩形脉冲取极限的方法，可导出上述结果:,,(t),可以看作脉宽为，幅值为1/的门函数G(t)当0时的极限‘(t),可以看作G(t)求导后，再取当0时的极限26,求导得,t,G(t),0,t,0,(1),(t),0,求导,0,t,G'(t),0,t,0,(,,),'(t),,27,单位冲激偶,的特性：,1、,单位冲激偶,的,积分,等于,单位冲激函数,：,2、,单位冲激偶,的,抽样特性,：,证明：利用分部积分法：,,28,推广：,3、单位冲激偶是奇函数：,由定义可见，,‘(t),是奇函数，所以包含面积为0。

29,奇异函数的综合：,1、R(t)的导数是u(t)； u(t)的导数是,(t)； (t)的导数是’(t)2、 u(t)是物理量的,单位跃变,的抽象,3、,(t)是物理量产生,单位跃变,速度,的抽象,4、,‘(t)是物理量产生,单位跃变,加速度,的抽象,,30,1.6 信号的时域分解与变换,在信号的时域分解中，一种方法是将信号分解为正交函数的线性组合另一种方法是：用,阶跃信号,和,冲激信号,作为,单元信号,，将信号表示为,阶跃信号,或,冲激信号之和一、任意信号分解为阶跃函数之和,1、矩形脉冲,,31,1、矩形脉冲,A,,t,0,A,,t,0,,32,A,,t,0,T,T+,,2、任意信号函数,用一系列阶跃函数之和近似表示任意函数,f(0),f(t),kt,t,2t,t,将时间区间(0,t),,平均分成n等份，,t=t/n33,第一个阶跃f,0,(t)在,,t=0时刻加入第二个阶跃f,1,(t)在t=,t时刻加入，迭加在第一个阶跃上，高度为f(t)=f(t)-f(0)f(0),f(t),kt,t,2t,t,,34,同理，,t=k,t,处应迭加一高度为,f(t)=f(,k,t)-f(,k,t- t),的阶跃函数，即,将上述各阶跃函数f,0,(t), f,1,(t),.. f,k,(t),…, f,n,(t)迭加起来，成为一阶梯形函数，近似表示f(t)。

35,上式的近似程度取决于,t的大小36,t,越小，近似程度越高,则：,,37,二、任意信号表示为冲激函数之和,将时间区间(0,t),平均分成n等份，,t=t/nf(t)在每个相等的时间间隔,t,内，用一个矩形脉冲加以近似,f(t),0,kt,t,2t,t,f(0),,38,用,冲激函数,表,,示这些,脉冲函数,各,冲激函数,的,位置,是它所代表的,脉冲左侧边界所在时刻,，各,冲激函数的强度,就是它所代表的,脉冲的面积,0,kt,t,2t,f(t),t,39,当,t0时，,0,kt,t,2t,f(t),t,,40,三、信号的时域变换,1、信号的迭加与相乘,两信号迭加成一个新信号，新信号任意时刻的,,数值等于,两信号同在该时刻的数值之和,两信号相乘得到一个新信号，新信号任意时刻,,的数值等于,两信号同在该时刻的数值乘积,41,2、信号的翻转（反褶）,信号f(t)的自变量t用-t替换，称为信号的翻转反褶后的波形与原波形,,相对于纵轴对称0,t,f(t),1,2,0,t,f(-t),-1,-2,信号的反褶运算可以看,,作把过去的时间与未来的,,时间相互调换42,3、信号的时间平移,信号f(t)的自变量t用t-t,0,替换。

0,t,f(t),1,2,0,t,f(t-1),1,2,0,t,f(t+1),1,2,t,0,>0时，f(t-t,0,)的波形为：,,f(t)沿时间轴右移t,0,t,0,<0时，f(t-t,0,)的波形为：,,f(t)沿时间轴左移|t,0,|,,43,4、信号波形展缩（尺度变换）,信号f(t)的自变量t用at替换0,t,f(t),1,2,a>1时，f(at)的波形为：,,f(t)的波形沿时间轴压缩,,1/a倍，幅值不变0,t,f(2t),1,2,0,t,f(t/2),1,2,4,0

0,t,f(5-t),1,2,3,1,(2),2,-1,0,t,f(5+t),1,-2,1,(2),2,-1,0,t,f(t+4),1,-2,1,(2),2,-1,2,0,t,f(2t+4),1,-2,1,(1),2,-1,2,反褶,平移,展缩,注：,冲激信号的强度压缩到原信号的1/247,,平移：,形如,f(at+b) 的信号，变换为,将其右移,,得到,f(at),反褶：,反褶为,,,。