专题5.2 数列（解析版）新课标试卷.docx

专题5.2 数列 题组一、数列的求和与通项1-1、（2022届高三第二次南通市海门去诊断测试数学）（10分）设数列的前n项和为．（1）求；（2）求数列的前n项和．【解析】（1）①当时，②，①-②，∴，∵，∴也满足上式，∴为等比数列且首项为1，公比为2，∴，∴．（2），∴①②①-②,∴．1-2、(2022·江苏金陵中学期中)已知各项均为正数的数列，满足且（1）求数列的通项公式（2）设，若的前项和为，求【解析】（1）∵，∵数列的各项均为正数，∴，∴，即所以数列是以为公比的等比数列.∵，∴数列的通项公式.（2）由（1）及得， ，∵，∴①∴②②-①得:1-3、(2022·江苏淮阴中学、海门中学、姜堰中学期中联考)(本题满分10分-)在公差不为0的等差数列{an}中，前n项和为Sn，，a22＋a62＝a42＋a52．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若，求数列{bn}的前n项和为Tn．【解析】：设等差数列的公差为，因为，所以，解得 所以，所以，所以，即，所以，即，所以，解得所以数列的通项公式为.（2）：由（1）知，所以，所以1-4、（2022届高三年级苏北四市第一学期期末调研考试-）(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，a2＝15，．(1)设，求数列{bn}的通项公式；(1)设cn＝10－log2(an＋1)，求数列{|cn|}的前20项和T20．【解析】(1)由可知，，即，…………3分由a1＝3，a2＝15，知，，所以{bn}是以12为首项，4为公比的等比数列，所以{bn}的通项公式为． ……………6分(2)由(1)知，，所以－an－2)＋…＋(a2，…………………………9分所以，所以{|cn|}的前20项和T20＝8＋6＋4＋2＋0＋2＋4＋…＋30＝260．…………12分1-5、(2022·江苏南师附中期中)设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S2＝4，a32＝3a4．(1)求an和Sn；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【解析】(1)设{an}的公比为q，则a32＝a2a4，而a32＝3a4，所以解得a2＝3，而a1＋a2＝4，所以a1＝1，q＝2， n－1，则(2) bn＝＝＝＝2(－)，∴Tn＝2(－＋－＋…＋－)＝2(－)＝1－．1-6、(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)(10分-)设数列的前n项和为．(1)求；(2)求数列{}的前n项和Tn．【解析】（1）当时，，即，当时，由可得，两式相减得：，即，又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以（2）由（1）知，，所以，，，两式相减得：所以1-6、(2022·江苏盐城期中)(12分)已知数列{an}是首项为1－2i(i为虚数单位)的等差数列，a1，，a3成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设{an}的前n项和为Sn，求．【解析】(1)∵a1，，a3成等比数列，a1＝1－2i，， ………………2分设的公差为d，则，∴d＝2i，………………4分则－4)i，即的通项公式为． ………………6分(2)70i， ………………9分∴． ………………12分1-7、(2022·江苏徐州期中)(本小题满分10分-)已知数列的前n项和为Sn，．数列是等比数列，，．(1)求，的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn．【解析】(1)n＝1时，，当n≥2时，，n＝1时也满足，，则，．(2)由题意，①②①－②得，－Tn＝3，∴，×，．1-8、(2022·江苏南通市区期中)(本题满分10分-)已知数列是公比为正数的等比数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和Sn．【解析】(1)根据题意，设公比为q，且q＞0，∵a1＝2，a3＝a2＋4，∴2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴．(2)根据题意，得，故，因此Sn＝(1＋2＋…＋n)＋(21＋22＋…＋2n)＝＋．所以Sn．题组二、数列的奇偶性问题-试卷2-1、（苏州市2021-2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学）（12分）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”.已知在数列中，，.（1）求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；（2）若数列满足，求的前项和.【解析】（1）法一：由，，相减得，所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，由，，得，所以.法二：由，，相减得，所以是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，从而的奇数项和偶数项分别是公差为的等差数列，所以所以.（2）法一：由，，得，当为偶数时，；当为奇数时，.综上所述，法二：当为偶数时，；当为奇数时，.所以当为偶数时，；当为奇数时，.综上所述，2-2、(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分-)已知等差数列满足，n∈N*．(1)求的通项公式；(2)设求数列的前2n项和．【解析】(1)因为，所以，所以，设等差数列的公差为，则，可得，当时，，可得，所以.(2)当为奇数时， ，当为偶数时，，所以 .2-3、（2022届高三南通市通州区第一学期期末质量监测数学）（12分）已知数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设的最大值为，最小值为，求的值．【解】（1）由， 得时，， 两式相减，可得（）， 所以，即（）． …… 3分 因为，， 解得，所以， 所以（）， 所以是首项为2，公比为的等比数列． 所以． …… 6分（2）由（1）可得，． …… 8分 当为偶数时，，； 当为奇数时，，， 当时，取最小值，当时，取最大值2， 所以． ……12分2-4、(2022·江苏南通海安市期中)已知数列满足a1＝1，an＋1＝(1)从下面两个条件中选一个，写出b1，b2，并求数列的通项公式；①bn＝a2n－1＋3；②bn＝a2n＋1－a2n－1．(2)求数列的前n项和为Sn．【解析】（1）当奇数时，，则，且，则，即，当为偶数时，，则，且，，则，即，若选①，则，则；若选②，则，则，（2）当为偶数时，当为奇数时，.2-5、(2022·江苏镇江期中)(本小题满分12分)已知在各项均为正数的等差数列中，，且3构成等比数列的前三项．(1)求数列，的通项公式(2)设数列 ，求数列{}的前n项和Sn．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．【解析】(1)由题意，因为数列{an}为各项均为正数的等差数列，所以a2＋a3＋a4＝3a3＝21，即得a3＝7， 设公差为的，则有a2－1＝a3－d－1＝6－d，a3＋1＝8，a4＋a3＝a3＋d＋a3＝14＋d，又因为a2－1，a3＋1，a4＋a3构成等比数列{bn}的前三项，所以(a3＋1)2＝(a2－1)(a4＋a3)，即64＝(6－d)(14＋d)，解之可得d＝2，或d＝－10(舍去)，所以a1＝a3－2d＝7－4＝3，即得数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得an＝2n＋1，且由题可得，b1＝a2－1＝4，b2＝a3＋1＝8，所以数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得bn＝4×2＝2n+1，(2)若选①：cn＝anbn；设cn＝anbn＝4×(2n＋1)×2＝(2n＋1)•2n+1，则Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)•2n＋(2n＋1)•2n+1①，在上式两边同时乘以2可得，2Sn＝3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n－1)•2n+1＋(2n＋1)•2n+2②，①－②可得，－Sn＝3×22＋2(23＋24＋25＋…2n+1)－(2n＋1)•2n+2＝8＋(3－4n)•2n+1，即得Sn＝(4n－3)•2n+1－8；若选②：cn＝；可设cn＝＝＝－，则Sn＝－＋－＋…＋－＝－；若选③：cn＝；可设cn＝＝(2n＋1)＋n，则Sn＝－3＋1＋5＋2－7＋3＋9＋4＋…＋(2n＋1)＋n，所以当n为偶数时，Sn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(2n－1)＋(2n＋1)]＋(1＋2＋3＋…＋n)＝×2＋＝；由上可得当n为奇数时，Sn＝×2＋(1＋2＋3＋…＋n)－(2n＋1)＝，综上可得，Sn＝．2-5、(2022·江苏盐城期中)(12分)已知数列{an}满足a1＝1， (1)求证：；(2)设，求{bn}的前n项和Sn．【解析】(1)证明：，，，即． …………………4分(2)解：由(1)可知数列的奇数项成等差数列，，∴， …………………7分又∵，∴数列成等比数列，，∴． …………………12分题组三、等差数列与等比数列的证明或判断3-1、（2021-2022学年高邮市高三上学期12月学情调研数学试题-）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足4Sn=(an +1)2(1)证明数列{an}为等差数列，并求其通项公式;(2)求数列{an .3n}的前n项和Tn解：（1）所以数列为等差数列，.--------------------6分（2），-----------------------12分3-2、（2021-2022学年高邮市高三上学期12月学情调研数学试题-）. (本小题满分12分)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.(1) 若{bn}是公差为3的等差数列，求证：{abn}也是等差数列；(2) 若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和． 证明：∵ {bn}是公差为3的等差数列，∴bn＋1－bn＝3.(2分)又an＝2n＋4，∴abn＋1－abn＝2(bn＋1＋4)－2(bn＋4)＝2(bn＋1－bn)＝6，∴ {abn}是等差数列．(6分)注：写出bn＝3n－1得2分．(2) 解：∵ {abn}是公比为2的等比数列，首项为ab1＝a2＝2×2＋4＝8，∴abn＝8×2n－1＝2n＋2.(8分)又abn＝2bn＋4＝2n＋2，∴bn＝2n＋1－2，(10分-)则数列{b。