八年级上数学培优专题如何做几何证明题含答案.doc

如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系 这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1） 综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐 步向前推进，直到问题的解决；（2） 分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3） 两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于 表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离， 最后达到证明目的3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图 形分解成基本图形在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线， 以达到集中条件、转化问题的目的分类解析】1证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到例 1.已知：如图 1 所示，■二 ABC 中，一 C = 90 ， AC 二 BC， AD = DB， AE = CF求证：DE = DF分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，.A =45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CD = AD , . DCF =45从而不难发现 ^DCF二.DAE证明：连结CDAC 二 BCA = BACB =90，AD 二 DBCD 二 BD 二 AD, • DCB "B —AAE =CF，- A =/DCB，AD =CDA DE三 CDFDE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线； 在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线 显然，在等腰直角三角形中， 更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线本题亦可延长 ED到G，使DG = DE，连结BG，证 EFG是等腰直角三角形有兴趣的同学不妨一试例 2.已知：如图 2 所示，AB = CD，AD = BC，AE = CF。

求证：/ E=Z FA D/W7B C\ /I XVF图2证明：连结AC在ABC和CDA中，AB =CD , BC=AD, AC =CAABC 三 CDA (SSS)B "DAB 二 CD , AE =CFBE 二 DF在-BCE和-DAF中，工 BE =DFBBC =DABCE 二 DAF (SAS)E =/F说明：利用三角形全等证明线段求角相等意:常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量;(2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行，可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90°,或利用两 个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证例 3.如图，/ ABC= / ADC ,BF 和 DE 分别平分/ ABC 和/ ADC , / 1 = / 2,证明：DE // FB证明：•/Z ADC= Z ABC，且Z 2= Z ADE , Z CBF= Z ABF，故Z 2= Z ABF , 又Z 2=Z 1,因此Z 1 = Z ABF ,••• DE // BF.例 4.已知：如图 4 所示，AB = AC , Z A = 90 , AE = BF , BD = DC。

求证：FD丄ED123证明一：连结ADAB = AC, BD =DCZ 1 - Z 2 = 90 , Z DAE 二 Z DABZ BAC =90 , BD 二 DC.BD 二 ADZ B = Z DAB 二 Z DAE在-ADE和-BDF中，AE = BF , Z B = Z DAE , AD = BDADE = BDF3-Z3 " =90FD—ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高， 或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段 （截长法）例5.已知：如图6所示在 ABC中，.B =60，/ BAC、/ BCA的角平分线 AD、CE相交于0求证：AC = AE + CDBEO1 4'2 35A F图6分析：在AC上截取AF = AE易知=AEO三AFO , - 1 - 2由—B = 60 ,知.5 • 6 = 60 , • 1 = 60 , ■ 2 • 3 = 120 • 1 2 =/3 =/4 = 60，得：FOC 二 DOC , FC 二 DC证明：在AC上截取AF = AEBAD = CAD, AO 二 AOAEO 三 AFO SAS4—2.5 . 6 =60.仁60/2 . 3=120“ =/2 =/3=/4 =60：F OC三：DOC (AAS)FC =DC即 AC = AE CD(二)延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段， 则两较短线段成为一条线段， 证明该线段等于较长线段。

补短法)例6.已知：如图7所示，正方形 ABCD中，F在DC上，E在BC上，.EAF=45 求证：EF = BE + DF分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件 不妨延长CB至G , 使 BG= DF证明：延长CB至G,使BG = DF在正方形 ABCD 中， ABG =90 , AB = ADABG 三 ADF (SAS)AG 二 AF ,1=3又 EAF =452 3 =452 1 = 45即/ GAE = Z FAE.GE 二 EFEF 二 BE DF【实战模拟】1.已知：如图11所示， ABC中，.C =90 , D是AB上一点，DE丄CD于D,交BC于E,且有AC二AD = CE求证：DE =〕CD2图112.已知：如图12所示，在 ABC中，.A B , CD是/ C的平分线求证：BC = AC + AD图123.已知：如图13所示，过；ABC的顶点A，在/ A内任引一射线，过 B、C作此射线的 垂线BP和CQ设M为BC的中点求证：MP = MB J ，”CMP图13【试题答案】1.证明：取CD的中点F，连结AFAC = AD.AF_CD.AFC = . CDE 二 90又.1 . 4 =90 , . 3=90.4 =/3AC =CE：ACF 三.CED (ASA)CF = ED1DE CD22.分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。

“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等； “补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段证明：延长CA至E,使CE = CB,连结ED在厶CBD和 CED中，'CB = CE=[/BCD =NECDCD =CD.：CBD 三：CED.B —EBAC =2 BBAC =2 E又.BAC —ADE . E..A D E= . E, AD = AEBC =CE = AC AE = AC AD3.证明：延长PM交CQ于RAQ RCQ_AP, BP_AP.BP / /CQPBM = RCM又BM =CM, BMP 二 CMRBPM = CRM■ PM = RM■ QM是Rt QPR斜边上的中线■ MP = MQ。