例析不等式证明中常用的几种代换 学法指导 不分版本 试题.doc

例析不等式证明中常用的几种代换裴华明 对于某些不等式的证明，如果能恰当的引入有关的变量代换，则常会使一些陌生的问题熟悉化，复杂的问题简单化下面通过实例来介绍几种常见的代换方法，仅供参考一. 常值代换 将不等式中的某些特殊的已知数值用字母代换，可使问题得到巧妙的解决 例1. 试证 证明：设， 则 因为 所以 则 即 所以，故原不等式成立二. 三角代换 给出的条件中如果是，可设，；如果是，可设，；如果是，可设；如果是，可设等 例2. 已知，求证 证明：设，则 例3. 已知，求证 证明：设，则 三. 平均值代换 若，可作代换；若，可作代换，其中，或， 例4. 已知，求证 证明：设，其中，则 因为 所以（当且仅当时，等号成立）四. 增量代换 两个量（或两个以上）a、b不相等，如，则可作代换（，称为增量），即把a表示为b加上一个正数的形式，这样可使不等化为相等，使问题得以简化。

例5. 已知，求证 证明：依题意，设（），则 故原不等式成立五. 整体代换 对于不等式中较为复杂的式子，有时可用一个字母来表示，可使不等式的形式得以简化，便于观察，寻找思路 例6. 在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证： 证明：设 三式相加，有，则原不等式化为 而 所以原不等式成立六. 部分代换 在不等式证明过程中，为了简化书写过程，可将其中某些式子进行代换 例7. 已知，求证： 证明：原不等式可转化为 设 则上式可化为 而（当且仅当时取等号），故原不等式成立七. 轮换代换 如果不等式是关于几个字母的轮换形式，所作代换常成轮换代换 例8. 已知，且，求证： 证明：由题意可作代换，设，则原不等式可化 即 而，（当且仅当时取等号），将以上三式相乘即可 故原不等式成立八. 放缩代换 有些不等式在证明时，须根据要求“去掉或增加一些项（或数）”，使不等式各项和变小（大），从而达到目的 例9. 求证 证明：因为 所以。