塞瓦定理及应用.doc

第二章　　塞瓦定理及应用【基本知识】塞瓦定理 　设，，分别是的三边,,或其延长线上的点,若,,三线平行或共点,则. ﻩﻩﻩ①证明 如图２-1()、(），若，,交于一点，则过作的平行线，分别交,的延长线于，,得．又由，有.从而.若，，三线平行,可类似证明(略）.注 （1)对于图２-1(）、()也有如下面积证法：由:,即证．（2）点常称为塞瓦点.（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证.一方面,由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理．如图2-1()、（)，分别对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理有 ,．上述两式相乘，得．另一方面,由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理.如图2-2，设,,分别为的三边，，所在直线上的点,且,，三点共线．令直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点.分别视点，，，，,为塞瓦点,应用塞瓦定理，即对及点(直线，，的交点),有．对及点(直线,，的交点），有.对及点（直线,，的交点），有．对及点（直线,,的交点）,有．对及点（直线,，的交点），有.对及点（直线，，的交点),有.上述六式相乘,有.故．塞瓦定理的逆定理 设,，分别是的三边,,或其延长线上的点，若， ﻩ②则,,三直线共点或三直线互相平行.证明若与交于点，设与的交点为,则由塞瓦定理,有,又已知有,由此得,即,亦即,故与重叠，从而,,三线共点.若,则.代入已知条件，有，由此知,故.上述两定理可合写为：设,，分别是的，，所在直线上的点,则三直线，,平行或共点的充要条件是. ﻩ③第一角元形式的塞瓦定理　 设，,分别是的三边，，所在直线上的点,则三直线,,平行或共点的充要条件是． ﻩ ④证明 由，,，三式相乘,再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立.第二角元形的塞瓦定理　 设，，分别的三边,，所在直线上的点,是不在的三边所在直线上的点，则，，平行或共点的充要条件是. ﻩ ⑤证明　　注意到塞瓦定理及其逆定理,有．由此即证得结论．注 在上述各定理中,若采用有向线段或有向角,则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1．特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上.④、⑤式中的角也可按①式的相应线段记忆．推论 设,，,分别是的外接圆三段弧，，上的点，则，,共点的充要条件是．证明 如图2-３,设的外接圆半径为，交于，交于,交于．由,，，,,六点共圆及正弦定理,有.同理,，.三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证．为了使读者纯熟地应用塞瓦定理，针对图2－4中的点、、、、、，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子：对及点有 ，对及点有 ,对及点有 ，对及点有 ,对及点有 ，对及点有 ,对及点有 ，对及点有 ．【典型例题与基本措施】１.恰本地选择三角形及所在平面上的一点,是应用塞瓦定理的核心例1　 四边形两组对边延长分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段.ﻩ ﻩﻩ (１978年全国高中竞赛题)证明　 如图2-5,四边形的两组对边延长分别交于，，对角线，的延长线交于.对及点,应用塞瓦定理,有.由，有，代入上式，得，即.命题获证．例2 如图2－６,锐角中,是边上的高,是线段内任一点,和的延长线分别交,于,.求证:．ﻩﻩ （1994年加拿大奥林匹克试题）证法1 　对及点，应用塞瓦定理,有． ﻩ ①过作，延长,分别交于，,则,且,，从而,.而由①，有,故.由此知为等腰底边上的高，故.证法2 对及点应用塞瓦定理,有.即,由锐角性质知．类似地，对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有．注 　将此例中的平角变为钝角,则有如下:例３　 如图2－7,在四边形中，对角线平分.在上取一点，与相交于,延长交于．求证：.(199９年全国高中联赛题）证明　 连交于，对及点，应用塞瓦定理，有．平分,由角平分线性质,可得，故．过点作的平行线交的延长线于，过点作的平行线交的延长线于，则．因此．从而，．又,，有．因此,，即有．故 .注 由此例还可变出某些题目，参见练习题第4、5及１９题.例4 如图２-8,是的中线，在上,分别延长,交，于,,过作交于,及为正三角形.求证:为正三角形．证明 连，对及点应用塞瓦定理，有．而，则．由,由．于是,有，从而,即知四边形为平行四边形,有.又,则.而，,知，有，．于是．故为正三角形.例５ 如图２－９,在一种中，,为内满足及的一点.求证:是的三等分线. ﻩﻩ ﻩﻩﻩ(1994年香港代表队选拔赛题)证明 用表达的度量,令,则，，,(其中注意),　．对及点,应用第一角元形式的塞瓦定理,有．亦即 　.于是 ，即 　．而,则.因 ，则. ,即.从而.故 ，即是的三等分线．运用第一角元形式的塞瓦定理可简捷解决全国高中联赛加试第一题的第1问:例6 　设、分别为锐角()的外接圆上弧、的中点.过点作交圆于点,为的内心，联结并延长交圆于点．求证：.证明 事实上，易知、、及、、分别三点共线,对及点应用第一角元形式的塞瓦定理，有． ﻩ①由知,有．于是①式即为.故.2.注意塞瓦定理逆定理的应用以及与梅涅劳斯定理的配合应用例７ 　如图2-１0，在中,，为上给定的一点(不是线段的中点)．设为直线上与，都不相似的任意一点,并且直线，交于，直线，交于，直线,交于．试证明交点与在直线上的位置无关． (19９0年苏州市高中竞赛题）证明 设分线段为定比，分线段为定比.下证由拟定,即当,给定后,点的位置由点唯一拟定．在中，由，,交于一点,应用塞瓦定理,有,即.对及截线，应用梅涅劳斯定理,得，即．上述两式相加，得.从而，即，故由唯一拟定.因此，点与在直线上的位置无关.例8 如图２-1１,设为内任一点,在形内作射线，，,使得,,．求证：,,三线共点．证法1　 设交于,交于，交于,则由正弦定理有．同理,,．将上述三式相乘，并应用正弦定理，有.由塞瓦定理的逆定理,知,，共点．证法2 设交于，交于,交于，直线交于,直线交于,直线交于.对及点,应用塞瓦定理,有　　.在和中应用正弦定理,有．同理，,.以上三式相乘，并注意到①式，有．由塞瓦定理的逆定理，知,，共点．证法3 　设交于,交于，交于,直线交于，直线交于，直线交于.对及点,应用角元形式的塞瓦定理，有.由题设，，，则有,,.于是 ，对,应用角元形式的塞瓦定理的逆定理,知,,三线共点．例9 如图2-１2，四边形内接于圆，其边与的延长线交于点,与的延长线交于点，过点作该圆的两条切线，切点分别为和.求证:，,三点共线.（１997年试题）证明 连分别交，于,，设与交于.要证,,三点共线，只须证明,，和,,都三点共线，又只须证明,,三线共点．由塞瓦定理的逆定理知只须证明.又直线截,应用梅涅劳斯定理,有,从而只须证明．设圆心为，连交于，连,，，，则由切割线走理和射影定理,有，即知,,，四点共圆,有，此表白为的内角的外角平分线．而,则平分．于是,，结论获证．【解题思维方略分析】1．获得线段比例式的一种手段例10 如图2-１３,中，，分别为和同方向延长线上的点,与相交于，且．若点满足(为常数），则.证明 设交于，对及其形外一点,应用塞瓦定理,有．而,则．不妨设,则,即有，于是,故.此时,点到的距离不不不小于到的距离,则过作必交延长线于一点，设为．又作的外接圆交于另一点，则四边形为等腰梯形．当时,由，知必段上，于是，（同弧上的圆外角不不小于同弧上的圆周角).又由,知．故结论获证.２.转化线段比例式的一座桥梁例1１ 设为内任一点，,,分别交,，于，,．求证:．证明　　如图2-１４,记，，.对及点,应用塞瓦定理,有.对及截线，应用梅涅劳斯定理，有，即.由合比定理得,即．同理,,．三式相加，得.例12 如图2-15,设为内任意一点,，,的延长线交对边，,于点,,,交于．试证:．证明 令，，,对及点，应用塞瓦定理，有.对及截线，应用梅涅劳斯定理,有．注意到，则有,即,故.又对直线截，有.而，则，故．又对及截线,有，即有 　,故．从而．于是，．其中档号由中档号成立时成立,即当且仅当亦即当且仅当，亦即时取等号．此时,和之间成为如图2-16的双曲线的关系.例13 如图2－1７,已知直线的三个定点依次为、、,为过、且圆心不在上的圆，分别过、两点且与圆相切的直线交于点,与圆交于点.证明:的平分线与的交点不依赖于圆的选用． ﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩ （45预选题）证明 　设的平分线交于点，交圆于点,其中与是不同的两点.由于是等腰三角形,则有．同理，在中,有．在中,视为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理，有.注意到，.则 .即 ,故结论获证.3．求解三角形格点问题的统一措施如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质,我们称这样的点为三角形的格点．例14　 如图2－18,在中，，,和分别是和上的点，使得，,是直线和的交点．证明:直线和直线垂直．(１9９8年加拿大奥林匹克试题)证明 设,则，对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理,有．从而 　，即有． .注意到，知,,有，故.延长交于，则.故．注 　此题也可这样来解:由,有．由于作为的函数在上严格递减,因此．故.因此,．或者过点作于,则，．有关有．因此,、、三线共点,因此点在上,即．例1５ 如图２－19,在内取一点，使得，.设,,求.ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ（1９8３年前南斯拉夫奥林匹克试题)解 设，则．由第一角元形式的塞瓦定理，有 .从而 ． ，　 , ．于是　 ．注意到 　，知，.　 ，故 　.因此 为所求．注 　此题成果也可直接由①式有且，，求得.此外,此题也可这样来解：由,有.由于作为的函数在（，）上严格递减，因此.故．或者由,令，则．对和点应用第一角元形式的塞瓦定理，有．则．由于作为的函数在上严格递增,因此．例16 　如图2－2０,具有下面性质：存在一种内部的点,使得，，,.证明:是等腰三角形.(1９９6年美国第2５届奥林匹克试题）证明 　设，则.由第一角元形式的塞瓦定理，有．即有 　． , 　．从而 且，,故，即，从而.注　　此题也可这样来求解：由，有　 .由于作为的函数在（,)上严格递减,因此 ，即．故．还可对及点应用第一角元形式的塞瓦定理来求.4．论证直线共点的一种工具例17 　如图２－21，在四边形中,,，过，的交点引，,其中交，于，，交,于,．,分别交于,，则．（１９90年CMＯ选拔试题)证明 在,上分别取，,使，,则由对称性可知有下列角相等,即若设，,,,，,则，又，故.又，故，．连交于,在中，.故由塞瓦定理的逆定理，知,,共点,即过点．由对称性。