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中考复习三角形专题一含答案 The pony was revised in January 2021 2018 年 02 月 28 日刘笑天的初中数学组卷 一．选择题（共 12 小题） 1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则 m﹣n 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 2．如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BA 和 CD 的延长线交于点 E，若点 P 使得 S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点 P（ ） A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．组成∠E 的角平分线 D．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外） 3．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则 AB：AC 等于（ ） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 4．如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 是△ABC 的角平分线．若在边 AB 上截取BE=BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 5．平面直角坐标系中，已知 A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点 C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，已知△ABC 的面积为 12，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BD 于点 D，则△ADC 的面积是（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 7．如图，在下列三角形中，若 AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，P 为边长为 2 的正三角形内任意一点，过 P 点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则 PD+PE+PF 的值为（ ） A． B． C．2 D．2 9．如图，△ABC 的面积为 20，点 D 是 BC 边上一点，且 BD=BC，点 G 是 AB 上一点，点 H在△ABC 内部，且四边形 BDHG 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 10．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F 分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、BF、EF．若四边形 ABCD 的面积为 6，则△BEF 的面积为（ ） A．2 B． C． D．3 二．填空题（共 14 小题） 11．如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则 CE= ． 12．如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60．其三条角平分线交于点 O，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO= ． 13．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC= ． 14．如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上，若 AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么 EH 的长为 ． 15．在三角形纸片 ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，点 D（不与 B，C 重合）是 BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 EF 的长度为 a，则△DEF 的周长为 （用含 a 的式子表示）． 16．如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC 于D，E 两点，则 CD 的长为 ． 17．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 M 段 AB 上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= cm． 18．如图 1～4，在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图 10 中有 10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 S1，S2，S3，…，S10，则 S1+S2+S3+…+S10= ． 19．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点 A、D 关于点 F 对称，过点 F 作FG∥CD，交 AC 边于点 G，连接 GE．若 AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为 ． 20．如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，如果这样连续经过 2017 次变换后，等边△ABC的顶点 C 的坐标为 ． 21．如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 ． 22．如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 ． 23．在△ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高为 12，则△ABC 的面积为 ． 24．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD 的面积为= ，BD 的长为 ． 三．解答题（共 4 小题） 25．如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°． （1）若 AD=2，求 AB； （2）若 AB+CD=2+2，求 AB． 26．如图：在矩形 ABCD 中，AD=60cm，CD=120cm，E、F 为 AB 边的三等分点，以 EF 为边在矩形内作等边三角形 MEF，N 为 AB 边上一点，EN=10cm； 请在矩形内找一点 P，使△PMN 为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF 的面积）． 27．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD，AE分别与 CD、CB 相交于点 H、E，AH=2CH． （1）求 sinB 的值； （2）如果 CD=，求 BE 的值． 28．如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE． （1）如图 1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证：AD=BE； ②求∠AEB 的度数． （2）如图 2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，BN 为△ABE 中 AE 边上的高，试证明：AE=2CM+BN． 2018 年 02 月 28 日刘笑天的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．如图，两个三角形的面积分别是 9，6，对应阴影部分的面积分别是 m，n，则 m﹣n 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 【分析】设空白出的面积为 x，根据题意列出关系式，相减即可求出 m﹣n 的值． 【解答】解：设空白出图形的面积为 x， 根据题意得：m+x=9，n+x=6， 则 m﹣n=9﹣6=3． 故选 B． 【点评】本题考查了三角形的面积；设出未知数，根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键． 2．如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BA 和 CD 的延长线交于点 E，若点 P 使得 S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点 P（ ） A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．组成∠E 的角平分线 D．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外） 【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E 的平分线，点 P 到 AB 和 CD 的距离相等，即可得到 S△PAB=S△PCD． 【解答】解：作∠E 的平分线， 可得点 P 到 AB 和 CD 的距离相等， 因为 AB=CD， 所以此时点 P 满足 S△PAB=S△PCD． 故选 D． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据 AB=CD 和三角形等底作出等高即可． 3．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则 AB：AC 等于（ ） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 【分析】先过点 B 作 BE∥AC 交 AD 延长线于点 E，由于 BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用 AD 时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是 BE=AB，等量代换即可证． 【解答】解：如图 过点 B 作 BE∥AC 交 AD 延长线于点 E， ∵BE∥AC， ∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， ∴=， 又∵AD 是角平分线， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴=， ∴AB：AC=BD：CD． 故选：A． 【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线． 4．如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 是△ABC 的角平分线．若在边 AB 上截取BE=BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【解答】解：∵AB=AC， ∴△ABC 是等腰三角形； ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴BD=AD， ∴△ABD 是等腰三角形； 在△BCD 中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴△BCD 是等腰三角形； ∵BE=BC， ∴BD=BE， ∴△BDE 是等腰三角形； ∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°， ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°， ∴∠A=∠ADE， ∴DE=AE， ∴△ADE 是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有 5 个． 故选 D． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏． 5．平面直角坐标系中，已知 A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点 C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由点 A、B 的坐标可得到 AB=2，然后分类讨论：若 AC=AB；若 BC=AB；若CA=CB，确定 C 点的个数． 【解答】解：∵点 A、B 的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴AB=2， ①若 AC=AB，以 A 为圆心，AB 为半径画弧与坐标轴有 3 个交点（含 B 点），即（0，0）、（4，0）、（0，4）， ∵点（0，4）与直线 AB 共线， ∴满足△ABC 是等腰三角形的 C 点有 1 个； ②若 BC=AB，以 B 为圆心，BA 为半径画弧与坐标轴有 2 个交点（A 点除外），即满足△ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个； ③若 CA=CB，作 AB 的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个； 综上所述：点 C 在坐标轴上，△ABC 是等腰三角形，符合条件的点 C 共有 5 个． 故选 A 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用． 6．如图，已知△ABC 的面积为 12，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BD 于点 D，则△ADC 的面积是（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 【分析】延长 BD 交 AC 于点 E，则可知△ABE 为等腰三角形，则 S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出 S△ADC=S△ABC． 【解答】解：如图，延长 BD 交 AC 于点 E， ∵AD 平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE， 在△ABD 和△AED 中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD=DE， ∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC， ∴S△ADC═S△ABC=×12=6， 故选 C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由 BD=DE 得到 S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键． 7．如图，在下列三角形中，若 AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】A、D 是黄金三角形，C、过 A 点作 BC 的垂线即可；只有 B 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形． 【解答】解：A、中作∠B 的角平分线即可； C、过 A 点作 BC 的垂线即可； D、中以 A 为顶点 AB 为一边在三角形内部作一个 72 度的角即可； 只有 B 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形． 故选 B． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的 4 个选项中只有 D 选项有点难度，所以此题属于中档题． 8．如图，P 为边长为 2 的正三角形内任意一点，过 P 点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则 PD+PE+PF 的值为（ ） A． B． C．2 D．2 【分析】首先连接 PA、PB、PC，再根据正三角形的面积的求法，求出边长为 2 的正三角形的面积是多少；然后判断出 SABC=SAPB+SAPC+SBPC=PD+PE+PF，据此求出 PD+PE+PF 的值为多少即可． 【解答】解：如图，连接 PA、PB、PC，， ∵△ABC 是边长为 2 的正三角形， ∴△ABC 的面积为： ； ∵SABC=SAPB+SAPC+SBPC =×2×PD+×2×PF+×2×PE =PD+PE+PF ∴PD+PE+PF=， 即 PD+PE+PF 的值为． 故选：B． 【点评】（1）此题主要考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60°．②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；③它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． （2）此题还考查了等边三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：边长是 a 的等边三角形的面积是a2． 9．如图，△ABC 的面积为 20，点 D 是 BC 边上一点，且 BD=BC，点 G 是 AB 上一点，点 H在△ABC 内部，且四边形 BDHG 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】设△ABC 底边 BC 上的高为 h，△AGH 底边 GH 上的高为 h1，△CGH 底边 GH 上的高为 h2，根据图形可知 h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出 S阴影=S△ABC，由此即可得出结论． 【解答】解：设△ABC 底边 BC 上的高为 h，△AGH 底边 GH 上的高为 h1，△CGH 底边 GH 上的高为 h2， 则有 h=h1+h2，S△ABC=BC?h=2， ∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH?h1+GH?h2=GH（ h1+h2）=GH?h． ∵四边形 BDHG 是平行四边形，且 BD=BC， ∴GH=BD=BC， ∴S阴影=×（ BC?h）=S△ABC=5． 故选 A． 【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出 S阴影=S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC 的面积之间的关系是关键． 10．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F 分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、BF、EF．若四边形 ABCD 的面积为 6，则△BEF 的面积为（ ） A．2 B． C． D．3 【分析】连接 AC，过 B 作 EF 的垂线，利用勾股定理可得 AC，易得△ABC 的面积，可得 BG和△ADC 的面积，三角形 ABC 与三角形 ACD 同底，利用面积比可得它们高的比，而 GH 又是△ACD 以 AC 为底的高的一半，可得 GH，易得 BH，由中位线的性质可得 EF 的长，利用三角形的面积公式可得结果． 【解答】解：连接 AC，过 B 作 EF 的垂线交 AC 于点 G，交 EF 于点 H， ∵∠ABC=90°，AB=BC=2， ∴AC===4， ∵△ABC 为等腰三角形，BH⊥AC， ∴△ABG，△BCG 为等腰直角三角形， ∴AG=BG=2 ∵S△ABC=ABBC=×2×2=4， ∴S△ADC=2， ∵=2， ∵△DEF∽△DAC， ∴GH=BG=， ∴BH=， 又∵EF=AC=2， ∴S△BEF=EFBH=×2×=， 故选 C． 方法二：S△BEF=S四边形 ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED， 易知 S△ABE+S△BCF=S四边形 ABCD=3，S△EDF=， ∴S△BEF=S四边形 ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=． 故选 C． 【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键． 二．填空题（共 14 小题） 11．如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则 CE= 3 ． 【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论． 【解答】解：△ABE 和△ACD 中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AD=AE=2，AC=AB=5， ∴CE=BD=AB﹣AD=3， 故答案为 3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键． 12．如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60．其三条角平分线交于点 O，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6 ． 【分析】首先过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，作 OE⊥AC 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F，由 OA，OB，OC 是△ABC 的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得 OD=OE=OF，又由△ABC 的三边AB、BC、CA 长分别为 40、50、60，即可求得 S△ABO：S△BCO：S△CAO的值． 【解答】解：过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，作 OE⊥AC 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F， ∵OA，OB，OC 是△ABC 的三条角平分线， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6． 故答案为：4：5：6． 【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 13．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC= 70° ． 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC 中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC 的度数． 【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF； 又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理）， ∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°． 故答案为：70°． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 14．如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上，若 AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么 EH 的长为 ． 【分析】设 EH=3x，表示出 EF，由 AD﹣EF 表示出三角形 AEH 的边 EH 上的高，根据三角形AEH 与三角形 ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出 x 的值，即为EH 的长． 【解答】解：如图所示： ∵四边形 EFGH 是矩形， ∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∵AM⊥EH，AD⊥BC， ∴， 设 EH=3x，则有 EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x， ∴， 解得：x=， 则 EH=． 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 15．在三角形纸片 ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，点 D（不与 B，C 重合）是 BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 EF 的长度为 a，则△DEF 的周长为 3a （用含a 的式子表示）． 【分析】由折叠的性质得出 BE=EF=a，DE=BE，则 BF=2a，由含 30°角的直角三角形的性质得出 DF=BF=a，即可得出△DEF 的周长． 【解答】解：由折叠的性质得：B 点和 D 点是对称关系，DE=BE， 则 BE=EF=a， ∴BF=2a， ∵∠B=30°， ∴DF=BF=a， ∴△DEF 的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a； 故答案为：3a． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、含 30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换的性质，由含 30°角的直角三角形的性质得出 DF=a 是解决问题的关键． 16．如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC 于D，E 两点，则 CD 的长为 ． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 CD=AD，故 AB=BD+AD=BD+CD，设 CD=x，则BD=4﹣x，在 Rt△BCD 中根据勾股定理求出 x 的值即可． 【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴AB=BD+AD=BD+CD， 设 CD=x，则 BD=4﹣x， 在 Rt△BCD 中， CD2=BC2+BD2，即 x2=32+（4﹣x）2， 解得 x=． 故答案为：． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 17．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 M 段 AB 上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= 4 cm． 【分析】如图，作 MD⊥BC 于 D，延长 DE 交 BG 的延长线于 E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED 和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4． 【解答】解：如图，作 MD⊥BC 于 D，延长 MD 交 BG 的延长线于 E， ∵△ABC 中，∠C=90°，CA=CB， ∴∠ABC=∠A=45°， ∵∠GMB=∠A， ∴∠GMB=∠A=°， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90°， ∴∠GBM=90°﹣°=°， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=°． ∵MD∥AC， ∴∠BMD=∠A=45°， ∴△BDM 为等腰直角三角形 ∴BD=DM， 而∠GBH=°， ∴GM 平分∠BMD， 而 BG⊥MG， ∴BG=EG，即 BG=BE， ∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， ∴∠MHD=∠E， ∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD， ∴在△BED 和△MHD 中， ， ∴△BED≌△MHD（AAS）， ∴BE=MH， ∴BG=MH=4． 故答案是：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质． 18．如图 1～4，在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图 10 中有 10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 S1，S2，S3，…，S10，则 S1+S2+S3+…+S10= π ． 【分析】（1）图 1，作辅助线构建正方形 OECF，设圆 O 的半径为 r，根据切线长定理表示出 AD 和 BD 的长，利用 AD+BD=5 列方程求出半径 r=（a、b 是直角边，c 为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π； （2）图 2，先求斜边上的高 CD 的长，再由勾股定理求出 AD 和 BD，利用半径 r=（a、b 是直角边，c 为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π； （3）图 3，继续求高 DM 和 CM、BM，利用半径 r=（a、b 是直角边，c 为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π； 综上所述：发现 S1+S2+S3+…+S10=π． 【解答】解：（1）图 1，过点 O 做 OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为 E、F，则∠OEC=∠OFC=90° ∵∠C=90° ∴四边形 OECF 为矩形 ∵OE=OF ∴矩形 OECF 为正方形 设圆 O 的半径为 r，则 OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r ∴3﹣r+4﹣r=5，r==1 ∴S1=π×12=π （2）图 2，由 S△ABC=×3×4=×5×CD ∴CD= 由勾股定理得：AD==，BD=5﹣= 由（1）得：⊙O 的半径==，⊙E 的半径== ∴S1+S2=π×+π×=π （3）图 3，由 S△CDB=××=×4×MD ∴MD= 由勾股定理得：CM==，MB=4﹣= 由（1）得：⊙O 的半径=，：⊙E 的半径==，：⊙F 的半径== ∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π ∴图 4 中的 S1+S2+S3+S4=π 则 S1+S2+S3+…+S10=π 故答案为：π． 【点评】本题考查了直角三角形的内切圆，这是一个图形变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；解决此题的思路为：①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径r=（a、b 是直角边，c 为斜边）；②利用面积相等计算斜边上的高；③运用勾股定理计算直角三角形的边长． 19．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点 A、D 关于点 F 对称，过点 F 作FG∥CD，交 AC 边于点 G，连接 GE．若 AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为 27 ． 【分析】先根据点 A、D 关于点 F 对称可知点 F 是 AD 的中点，再由 CD⊥AB，FG∥CD 可知FG 是△ACD 的中位线，故可得出 CG 的长，再根据点 E 是 AB 的中点可知 GE 是△ABC 的中位线，故可得出 GE 的长，由此可得出结论． 【解答】解：∵点 A、D 关于点 F 对称， ∴点 F 是 AD 的中点． ∵CD⊥AB，FG∥CD， ∴FG 是△ACD 的中位线，AC=18，BC=12， ∴CG=AC=9． ∵点 E 是 AB 的中点， ∴GE 是△ABC 的中位线， ∵CE=CB=12， ∴GE=BC=6， ∴△CEG 的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27． 故答案为：27． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键． 20．如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，如果这样连续经过 2017 次变换后，等边△ABC的顶点 C 的坐标为 （﹣2015，﹣﹣1） ． 【分析】据轴对称判断出点 A 变换后在 x 轴下方，然后求出点 A 纵坐标，再根据平移的距离求出点 A 变换后的横坐标，最后写出即可． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形 AB=3﹣1=2， ∴点 C 到 x 轴的距离为 1+2×=+1， 横坐标为 2， ∴C（2，+1）， 第 2017 次变换后的三角形在 x 轴下方， 点 C 的纵坐标为﹣﹣1， 横坐标为 2﹣2017×1=﹣2015， 所以，点 C 的对应点 C′的坐标是（﹣2015，﹣﹣1）， 故答案为：（﹣2015，﹣﹣1）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续 2016 次这样的变换得到三角形在 x 轴上方是解题的关键． 21．如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 2或 2或 2 ． 【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图 2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得 BP 的长，利用勾股定理可得 AP 的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图 1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP 为等边三角形，利用锐角三角函数可得 AP 的长；易得 BP，利用勾股定理可得 AP 的长；情况二：如图 3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论． 【解答】解：当∠APB=90°时（如图 1）， ∵AO=BO， ∴PO=BO， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOP=60°， ∴△BOP 为等边三角形， ∵AB=BC=4， ∴AP=AB?sin60°=4×=2； 当∠ABP=90°时（如图 2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°， ∴∠BPO=30°， ∴BP===2， 在直角三角形 ABP 中， AP==2， 情况二：如图 3，∵AO=BO，∠APB=90°， ∴PO=AO， ∵∠AOC=60°， ∴△AOP 为等边三角形， ∴AP=AO=2， 故答案为：2或 2或 2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，含 30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 22．如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或 2cm2或 2cm2 ． 【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： （1）△AEF 为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可； （2）先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF，再代入面积公式求解； （3）先求出 AE 边上的高 DF，再代入面积公式求解． 【解答】解：分三种情况计算： （1）当 AE=AF=4 时，如图： ∴S△AEF=AE?AF=×4×4=8（cm2）； （2）当 AE=EF=4 时，如图： 则 BE=5﹣4=1， BF===， ∴S△AEF=AEBF=×4×=2（cm2）； （3）当 AE=EF=4 时，如图： 则 DE=7﹣4=3， DF===， ∴S△AEF=AE?DF=×4×=2（cm2）； 故答案为：8 或 2或 2． 【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度． 23．在△ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高为 12，则△ABC 的面积为 126 或 66 ． 【分析】分两种情况：①∠B 为锐角；②∠B 为钝角；利用勾股定理求出 BD、CD，即可求出 BC 的长． 【解答】解：分两种情况：①当∠B 为锐角时，如图 1 所示， 在 Rt△ABD 中， BD===5， 在 Rt△ADC 中， CD===16， ∴BC=BD+CD=21， ∴△ABC 的面积为×21×12=126； ②当∠B 为钝角时，如图 2 所示， 在 Rt△ABD 中， BC=CD﹣BD=16﹣5=11， 所以△ABC 的面积为×11×12=66； 故答案为：126 或 66． 【点评】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键． 24．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD 的面积为= 31 ，BD 的长为 2 ． 【分析】连接 AC，在 Rt△ABC 中，根据勾股定理求出 AC 的长，利用勾股定理的逆定理，说明△ACD 是直角三角形．利用 Rt△ABC 和 Rt△ACD 的面积和求出四边形 ABCD 的面积．过点 D 作 DE⊥BC，交 BC 的延长线与点 E．易证明△ABC∽△CED，求出 DE、CE 的长，再利用勾股定理求出 BD 的长， 【解答】解：连接 AC，过点 D 作 DE⊥BC，交 BC 的延长线与点 E． 因为∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴AC==5， 由于 AC2+CD2=25+100=125，AD2=（5）2=125， ∴AC2+CD2=AD2． 所以∠ACD=90°． 所以 S四边形 ABCD=S△ABD+S△ACD = =×3×4+×5×10 =6+25=31． ∵∠DEC=90°，∴∠DCE+∠CDE=90°， 所以∠DCE+∠ACB=90°， ∴∠CDE=∠ACB，又∵∠ABC=90°， ∴△ABC∽△CED ∴CE=6，DE=8． ∴BE=BC+CE=10， 在 Rt△DEB 中， DB= ==2 故答案为：31，2 【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定．解决本题的关键是连接 AC 利用直角三角形的面积求出四边形的面积． 三．解答题（共 4 小题） 25．如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°． （1）若 AD=2，求 AB； （2）若 AB+CD=2+2，求 AB． 【分析】（1）在四边形 ABCD 中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，求得 AE，利用锐角三角函数得 BE，得 AB； （2）设 DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果． 【解答】解：（1）过 D 点作 DE⊥AB，过点 B 作 BF⊥CD， ∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°， ∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°， ∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°， △ADE 与△BCF 为等腰直角三角形， ∵AD=2， ∴AE=DE==， ∵∠ABC=105°， ∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°， ∴BE===， ∴AB=； （2）设 DE=x，则 AE=x，BE===， ∴BD==2x， ∵∠BDF=60°， ∴∠DBF=30°， ∴DF==x， ∴BF===， ∴CF=， ∵AB=AE+BE=， CD=DF+CF=x， AB+CD=2+2， ∴AB=+1 【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有 30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线 DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数． 26．如图：在矩形 ABCD 中，AD=60cm，CD=120cm，E、F 为 AB 边的三等分点，以 EF 为边在矩形内作等边三角形 MEF，N 为 AB 边上一点，EN=10cm； 请在矩形内找一点 P，使△PMN 为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF 的面积）． 【分析】如图，以 MN 为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接 PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明 PE∥MF，容易求得 S△PMF=S△MEF，可求得答案． 【解答】解：如图，以 MN 为边，可作等边三角形 PMN； △PMF 的面积为 400．（求解过程如下）． 连接 PE， ∵△MEF 和△PMN 为等边三角形， ∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°，MN=MP，ME=MF， ∴∠PME=∠NMF， 在△MPE 和△MNF 中， ， ∴△MPE≌△MNF（SAS）， ∴∠MEP=∠MFE=60°， ∴∠PEN=60°， ∴PE∥MF， ∴S△PMF=S△MEF=EF2=400． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定，利用全等证得 PE∥MF，得到 S△PMF=S△MEF是解题的关键． 27．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD，AE分别与 CD、CB 相交于点 H、E，AH=2CH． （1）求 sinB 的值； （2）如果 CD=，求 BE 的值． 【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，可得出 CD=BD，则∠B=∠BCD，再由 AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由 AH=2CH，可得出 CH：AC=1：，即可得出 sinB 的值； （2）根据 sinB 的值，可得出 AC：AB=1：，再由 AB=2，得 AC=2，则 CE=1，从而得出 BE． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴CD=BD， ∴∠B=∠BCD， ∵AE⊥CD， ∴∠CAH+∠ACH=90°， 又∠ACB=90° ∴∠BCD+∠ACH=90° ∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH， ∵AH=2CH， ∴由勾股定理得 AC=CH， ∴CH：AC=1：， ∴sinB=； （2）∵sinB=， ∴AC：AB=1：， ∴AC=2． ∵∠CAH=∠B， ∴sin∠CAH=sinB==， 设 CE=x（x＞0），则 AE=x，则 x2+22=（x）2， ∴CE=x=1，AC=2， 在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2， ∵AB=2CD=2， ∴BC=4， ∴BE=BC﹣CE=3． 【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大． 28．如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE． （1）如图 1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证：AD=BE； ②求∠AEB 的度数． （2）如图 2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，BN 为△ABE 中 AE 边上的高，试证明：AE=2CM+BN． 【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB 和△DCE 均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论 AD=BE； ②结合①中的△ACD≌△BCE 可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB 的度数； （2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段 AD、DE 的长度，二者相加即可证出结论． 【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°， ∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°． ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD=∠BCE． ∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC=BC，DC=EC． 在△ACD 和△BCE 中，有， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． ②解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC． ∵点 A，D，E 在同一直线上，且∠CDE=50°， ∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°， ∴∠BEC=130°． ∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°． （2）证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°， ∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°． ∵CM⊥DE， ∴∠CMD=90°，DM=EM． 在 Rt△CMD 中，∠CMD=90°，∠CDM=30°， ∴DE=2DM=2×=2CM． ∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°， ∴∠BEN=180°﹣120°=60°． 在 Rt△BNE 中，∠BNE=90°，∠BEN=60°， ∴BE==BN． ∵AD=BE，AE=AD+DE， ∴AE=BE+DE=BN+2CM． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段 AD、DE 的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键． 。