极限思想的产生与发展.doc

毕 业 论 文题 目 极限思想的产生与发展 专 业 数学教育 院 系 数学系 学 号 姓 名 指 导 教 师 二○一三年五月定西师范高等专科学校 级 数学系 系毕业论文开题报告专业班级：数学教育 姓名： 指引教师： 一.论文题目：极限思想的产生与发展二.选题根据：随着社会的飞速发展，数学并不是自我封闭的学科，它与其她学科有着千丝万缕的联系数学不仅是一种措施，一门艺术或一种语言，数学更重要的是一门有着丰富内容的知识体系在探求极限来源与发展的过程中，我发现数学的确是一种美丽的世界，享有数学是一种美妙的过程三.有关理论研究综述：本文综述了极限思想的产生和发展历史极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增长了新的动力，成为了近代数学思想和措施的基本和出发点四.研究措施：查阅教材、图书馆查有关资料书五.论文构造: 1摘 要 2核心词 3引 言 4内 容 5小结 6参照文献 六.撰写筹划： 年 1月10日选题 年 1月15日搜索材料 3 月 5 日开始撰写 4 月 2 日修改完稿目 录内容摘要： .…..4核心词：…......………………….…………………………………………………….…4引言：…………………………………………………………………………………....5一、极限思想的产生……………………………………………………………………6二、极限思想发展的分期 6（一）极限思想的萌芽时期 6（二）极限思想的发展时期 8（三）极限思想的完善时期 8三、极限思想与微积分 9（一）微积分的孕育 10（二）牛顿与微积分……………………………………………………………..11（三）莱布尼茨与微积分 12（四）微积分的进一步发展 13结束语……………………………………………………………………………………………....14参照文献………………………………………………………………………………………..….15道谢…………………………………………………………………………………………………15内容摘要 本文综述了极限思想的产生和发展历史。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增长了新的动力，成为了近代数学思想和措施的基本和出发点核心词 极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到目前完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹极限思想的演变历程，是数千年来人类结识世界和改造世界的整个过程的一种侧面反映，是人类追求真理、追求抱负，始终不渝地求实、创新的生动写照在数学的发展中，数学问题的来源和发展体现为多种多样的途径和极其复杂的状况纵观极限思想的发展，一方面哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们根据这种直觉或直观进行应用和摸索；其后悖论一次次地浮现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善而数学的求证又予以了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具从最初时期朴素、直观的极限观，通过了近年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、互相推动的极限理论是微积分学的基本，极限措施为人类结识无限提供了强有力的工具，它从措施论上突出地体现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。

极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的某些问题将具有一定的理论意义对于培养人的思维措施、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力均有极好的增进作用一、极限思想的产生限思想的产生和其她科学思想同样，是通过历代古人的思考与实践一步一步徐徐积累起来的，因此它也是社会实践的产物极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基本上的一种原始的极限思想的应用；古希腊认的穷竭法也蕴含了极限思想，但希腊人对“无限的恐惊”，她们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完毕有关的证明到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改善了古希腊人的归谬法，她借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明如此，她就在无意中“指出了把极限措施发展成为一种实用概念的方向”数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的发明是对那些不可以用算术，代数和初等几何的简朴措施来解决的问题进行了许多世纪的顽强摸索的成果”两千近年前可以称作是极限思想的萌芽阶段。

其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决某些实际问题，但是还不可以系统而清晰的运用极限思想解释现实问题极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺、中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表国内春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩余的一半，随着时间的流逝竿会越来越短，长度越来越趋于零，但又有缘不会等于零这更是从直观上体现了极限思想国内古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的面积S就越来越接近于圆的面积πR在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的限度但可以想象，如果把这个过程无限次的继续下去，就能得到精确的圆面积二、极限思想发展的分期（一）极限思想的萌芽时期远在近年此前，人们在对无穷的萌芽结识中，极限的思想和措施就不可回避的孕育在其中了在国内，出名的《庄子·天下篇》一书中记有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭墨家著作《墨子·经天下》中也有“非半弗，则不动，说在端从中可体现出国内初期对物质的无限可分性与持续性已有了相称深刻的结识，虽然这些结识属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽。

将无穷思想发明性地运用到数学中的是国内魏晋时期的数学家刘徽刘徽在注释《九章算术》中多次用到极限思想解决问题，运用的比较纯熟，阐明当时她已经对极限思想有了相称深刻的结识对极限的观念和措施已有了直观基本上的运用正是以“割圆术”为理论基本，刘徽得出徽率到公元五世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之（429—5）的《缀术》中，同样运用“割圆术”推算出24576边形得到：3.1415926<π<3.1415927祖冲之这一成果领先世界近千年在国外，古希腊的巧辩学派—几何三大问题安提芬在研究画圆为方的问题时想到用边数不断增长的内接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,而布莱森（约公元前450年）则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边形的面积来逼近圆的面积的思想公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的拟定面积和体积的一般措施—“穷竭法”，这种措施假定量的无限可分性，并且以及下面命题为基本：“如果从任何量中减去一种不不不小于它的一半部的部分，从剩余部分中再减去不不不小于它的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一种不不小于任何给定的同类量的量”。

应用穷竭法，欧多克斯(约公元前400—前347年）对的地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”她的穷竭法也已经体现出了极限论思想继欧多克索斯之后，阿基米德使用穷竭法求出了一系列几何图形的面积她用足够“内接”和“外切”扇形逼近螺线所围成的平面图形，这和国内的“割圆术”理论大相径庭，实质上是一种极限思想阿基米德（Archimedes，公元前287—前2）生于叙拉古（现意大利西西里岛）她才智过人、成果卓著，被誉为古代最伟大的数学家和科学家她的传世名著有《圆的测量》、《论球体和圆柱体》、《论劈锥曲面体与球体》、《抛物线弓形求积》、《论螺线》、《砂粒计算》等她巧妙地把欧克多索斯与人的穷竭法与德·谟克利特的原子论观点结合起来通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线场，计算大量的计算问题她突破了老式的有限运算，采用了无限逼近的思想，将需规定积的量提成许多微小单元，再来用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较，她的无穷小概念到17世纪被牛顿作为微积分的基本阿基米德的杰出成就丰富了古代数学内容，其思想的深度和论述的严密性在当时是极为罕见的，因而被人们称为“数学之神”,并与高斯、欧拉和牛顿并称为19世纪此前的“数学四杰”。

由此，我们可以看到数学无穷思想发展之初，古人已经在极限领域开创了光辉的起点二）极限思想的发展时期14世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到15世纪中期，封建制度的解体，欧洲的生产力得到了迅速地发展，开始了“文艺复兴”时代由于生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，环绕着力学为中心，在天文学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究增进了有关科学的发展如哥白尼“日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等，她们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的发展奠定了基本，为极限思想和措施的发展及运用带来了机遇16世纪后来，欧洲处在资本主义的萌芽时期，生产力得到了极大的发展生产力和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、受力做功问题等，初等数学措施对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想，新的数学措施，突破只研究常量的老式范畴，提供可以用以描述和研究运动，变化过程的新工具，这极大的增进了极限思想的发展众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，如笛卡尔、费马、巴罗、卡瓦列里、沃利斯等，并获得了一定成果，特别是牛顿和莱布尼茨创立微积分的工作，她们都以不同的角度运用了极限的思想和措施，虽然她们的工作过多的依赖于直观，缺少严密的逻辑基本，但在她们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基本。

 （三）极限思想的完善时期18世纪微积分富有成果然而欠缺严密的基本，因而受到了人们的怀疑和袭击英国哲学家大主教贝克莱对微积分的袭击最为剧烈，她说微积分的推导是“分明的狡辩”正由于当时缺少严密的极限定义，微积分理论才受到严峻的挑战弄清极限概念，建立严格的微积分理论基本，不仅是数学自身的需要，并且尚有着结识论上的重大意义柯西的奉献几乎遍及所有数学领域，在她的7本专著和800篇论文中，可以看出她在微积分学、级数理论、微分方程、复变函数论、数论、行列式论、群论等方面均有研究和奉献18至1826年她的《无穷小计算在几何中的应用》和《无穷小分析讲义》等3部专著给出了分析学的一系列基本理论的严格定义，从而形成了现代微积分体系，她是近代微积分的奠基着在复变函数方面，柯西在《有关定积分理论的报告》中，从可互换积分顺序的二重积分着手，导出来积分于途径无关的柯西理论她证明了函数在极点的留数为：（其。