行列式的展开定理.ppt

§2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 §1 行列式的定义行列式的定义§3 行列式展开定理、克拉默法则行列式展开定理、克拉默法则一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式二、行列式按一行（列）展开法则二、行列式按一行（列）展开法则三、克拉默法则三、克拉默法则行列式展开定理、克拉默法则行列式展开定理、克拉默法则行列式展开定理、克拉默法则行列式展开定理、克拉默法则引例引例可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式定义定义在在 n 阶行列式阶行列式 中将元素中将元素 所在的所在的第第 i 行行与第与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置个元素按原位置次序构成一个次序构成一个 阶的行列式，阶的行列式，称之为元素称之为元素 的的余子式余子式, ,记作记作 ．．令令称称 之为元素之为元素 的的代数余子式代数余子式．．注：注：①① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式．和一个代数余子式．无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．②② 元素元素 的余子式和代数余子式与　的余子式和代数余子式与　 的大小的大小例如例如元素除元素除 外都为外都为 0，则，则1.1.引理引理二二 、行列式按行、行列式按行(列列)展开法则展开法则若若n 阶行列式阶行列式 D = 中的第中的第 i 行所有行所有例如例如证：证： 先证　　　　的情形，即先证　　　　的情形，即由行列式的定义，有由行列式的定义，有结论成立结论成立. .一般情形：一般情形：结论成立结论成立. .例例1. .计算行列式计算行列式 解：解： 2. .定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，对应的代数余子式乘积之和，即即或或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则证：证： 例例2. .计算计算n阶行列式阶行列式 解：解： 考虑按照第一行或考虑按照第一行或是最后一行或是最是最后一行或是最后一列展开后一列展开例例3. .证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 特点：特点：1.第一行都是第一行都是1。

2.第二行是基本元素行第二行是基本元素行3.从第一行开始每一行是第二行的幂形式从第一行开始每一行是第二行的幂形式先证明先证明3 3阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式 证明证明证：用数学归纳法证：用数学归纳法. . 时，时， 假设对于假设对于 阶范德蒙行列式结论成立．即阶范德蒙行列式结论成立．即结论成立．结论成立．把把 从第从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的行开始，后面一行减去前面一行的　倍，得　倍，得下证对于下证对于 n 阶范德蒙行列式　阶范德蒙行列式　 结论也成立结论也成立.范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等．中至少两个相等．注：注：范德蒙行列式另一形式：范德蒙行列式另一形式：第一节的例第一节的例2：解方程：解方程例例4. .计算计算2n阶行列式阶行列式 其中未标明的元素都是其中未标明的元素都是0.解：解： 3. .推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证相同相同∴ ∴ 当当 时时, ,同理可证同理可证, ,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：代数余子式三种和形式比较代数余子式三种和形式比较定理定理推论推论 2和和3的解题的解题思路：根据行思路：根据行列式列式D构造新构造新的行列式。

的行列式例例5. .设设 　　　　　　　　　求　　　　　　　　　求 解：解：和和自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组个数很多的线性方程组——如如n元一次线性方程组元一次线性方程组它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论.三、克拉默法则三、克拉默法则（（Cramer,瑞士，瑞士，1704~1752））定理定理 如果线性方程组如果线性方程组（（1））的系数行列式的系数行列式 则则方程方程组组(１１)有唯一解有唯一解（（2））Cramer法则法则其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列所得的一个所得的一个 n 级级行列式，即行列式，即的元素用方程的元素用方程组组（（1）的常数）的常数项项　　　　　代　　　　　代换换　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 注解注解1 1：：克拉默克拉默( (Cramer) )法则中包含着两个前提和三个结论：法则中包含着两个前提和三个结论：前提：前提：（（1 1）线性方程组（）线性方程组（1 1）中方程的个数等于未知量的个数；）中方程的个数等于未知量的个数；（（2 2）线性方程组（）线性方程组（1 1）的系数矩阵的行列式不等于零）的系数矩阵的行列式不等于零. .结论：结论：（（1）线性方程组（）线性方程组（1）有解；）有解；（（2）线性方程组（）线性方程组（1）的解是唯一的；）的解是唯一的；（（3）线性方程组（）线性方程组（1）的解由公式（）的解由公式（2）给出）给出.例例 5 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解：解：方程组的系数行列式方程组的系数行列式程的个数与未知量的个数不等时程的个数与未知量的个数不等时, , 就不能用克拉就不能用克拉通过上述例子通过上述例子, , 我们看到用克拉默法则求解我们看到用克拉默法则求解线性方程组时线性方程组时, ,要计算要计算 n+1 个个 n 阶行列式阶行列式, ,这个这个计算量是相当大的计算量是相当大的, , 所以所以, , 在具体求解线性方程在具体求解线性方程组时组时, , 很少用克拉默法则很少用克拉默法则. . 另外另外, , 当方程组中方当方程组中方默法则求解默法则求解. .注解注解2：：但这并不影响克拉默法则性方程组理论但这并不影响克拉默法则性方程组理论中的重要地位中的重要地位. . 克拉默法则不仅给出了方程组有克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件唯一解的条件, , 并且给出了方程组的解与方程组并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系的系数和常数项的关系. .注解注解3：：8.（（5）证明行列式）证明行列式解：解：另解另解1：数学归纳法：数学归纳法另解另解2：根据最后一行降阶展开：根据最后一行降阶展开9.（（1）计算行列式）计算行列式解：按照第一列降阶展开，解：按照第一列降阶展开，原式原式=。