06固体物理第三章.ppt

第三章 晶格振动与晶体热学性质,Na+,Cl-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,氯化钠结构,晶格振动,晶体结构理想模型,金刚石结构(diamond),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,B,B,B,A,A,A,同种原子形成两类格点相互套构,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,六方密堆积,AB/AB/AB…堆积,,,,A,A,A,A,A,B,B,B,A,A,C,C,C,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,A,氯化铯型结构(cesium chloride),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,布拉菲点阵,,：原子间距,两个原子间相互作用能、相互作用力：,,,,,,,,,绝对零度下，晶体总相互作用能由原子数、原子间距、晶体结构决定：,原子数 +原子间距 + 晶体结构 = 晶体体积,晶体总相互作用势能极小值等于晶体结合能：,,,,,,,晶格振动,粒子围绕平衡位置振动，粒子的相互作用使这些振动形成晶体波（格波）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,布拉菲点阵,,,,,,Na+,Cl-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例1：氯化钠长横波,,,,,,,,,,,,,,正离子密 负离子疏,正离子疏 负离子密,,,,,,,正离子密 负离子疏,正离子疏 负离子密,正离子疏 负离子密,波传播方向 （波长比原子间距大很多）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,+,+,-,-,,,,,,,,,,Na+,Cl-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2、长横波,,压缩,膨胀,膨胀,压缩,膨胀,,,波传播方向 （波长比原子间距大很多）,,,,,,,,,,,,,,,正离子密 负离子疏,正离子疏 负离子密,,,,,,正离子密 负离子疏,正离子疏 负离子密,正离子疏 负离子密,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,+,+,-,-,,,,,,,,,,晶格振动的影响,影响晶体的比热、热膨胀、热传导、光学性质、电学性质、力学性质等,例、影响电学性质,,,,,,,+,-,,,,电子,电子,,正离子区,负离子区,例、影响力学性质,,压缩,膨胀,膨胀,压缩,膨胀,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3.1 一维晶格振动,3.1.1 一维单原子链运动方程,一维理想单原子链,,,,,,,,1、N个全同原子构成； 2、晶格常数 ； 3、原子质量 ；,,模型,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,坐标及表示,在 时刻，第 个原子的瞬时位置,第 个原子的平衡位置,一定温度下，第 个原子偏离平衡位置的位移,运动方程（动力学方程）,第 个原子的瞬时位置：,,在 时刻，两个原子之间的相互作用势能：,两原子间相对位移,原子围绕格点位置微小振动（温度不很高），两原子的相对位移：,两原子相互作用势能在两原子间平衡间距点展开为泰勒级数：,,第 个原子与其它 个原子的总相互作用势能：,,,定义恢复力常数：,,,,,,第 个原子的运动方程：,,第 个原子受到其它 个原子的总作用力：,,1、简谐近似：原子围绕格点平衡位置弹性振动，位移与弹性力成正比。

近似条件,运动方程的近似求解,,,,2、最近邻近似：只考虑最近邻原子的相互作用势能,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,设想将一维原子链围成环形，原子链端点原子与链内原子完全一样由周期性边界条件，一维原子链中所有原子的运动方程：,3、周期性边界条件近似,,一维单原子链的解,,关于 的N个齐次方程其一般解：,,,—— 格波振幅,—— 格波,—— 格波圆频率,—— 第 原子的振动位相,—— 格波波长,—— 格波波矢,格波传播方向上的单位矢量,,1、两个原子的振动位相差为 整数倍时，两个原子振动位移相等格波在晶体中传播）,,对格波的讨论,,一维原子链晶格的倒格子原胞,,2、色散关系（频率与波矢关系）,,—— 截止频率,,,—— 色散关系,3、格波圆频率周期=,一维晶格倒格矢 ，所以倒格子空间中，圆频率周期性表示为：,由于格波圆频率的周期性，可以将波矢取值限制在第一布里渊区：,因此，第一布里渊区称为简约布里渊区,,,,,,,,4、格波圆频率中心反演对称，色散关系关于波矢对称,一维原子链的色散曲线,格波群速度：,,5、格波相速度、群速度,格波相速度：,格波波长比晶格常数大得多，,6、长波近似,,,,,,,,一维原子链的色散曲线,格波与波矢无关，称为声学波。

7、 短波近似,格波波矢,,,,,,,,一维原子链的色散曲线,当 时（短波极限），,,,,8、波矢的个数（振动模式数）,由周期性边界条件：,,个原子的一维原子链，有 个不同格波（振动模式）而,3.2 一维双原子链晶格振动,3.2.1 一维双原子链运动方程,模型,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2、相邻原子的恢复力常数为 ;,3、原胞中两个原子的质量分别为m、M ;,1、原胞中两个原子距离,,运动方程,在简谐近似、最近邻近似下，,运动方程的一般解（格波）,,,3.2.2 二维双原子链格波的色散关系,,,,或,—— 光学支格波色散关系,—— 声学支格波色散关系,,,,,,,,,,光学支,声学支,,,,,,,,禁止振动模式区间,禁带宽度=,设 ，得到：,3.2.3 声学波、光学波及其物理意义,在长波近似下，,（布里渊区中心附近），,声学波,,,,,,,,,,光学支,声学支,,,,,,,,禁止振动模式区间,禁带宽度=,长声学波波速,长声学波圆频率,在同一时刻，长声学波同一原胞中两个原子的位移之比：,而,,,,,,,,,,光学支,声学支,,,,,在第一布里渊区， ，所以，,—— 声学波相邻原子同方向振动,,,,,,,,,,,,,波传播方向,长波极限下，,—— 相邻原子同方向、同幅度振动,可等效用两原子质心振动代替两原子振动，质心的振动就是原胞的振动。

光学波,,,,,,,,,,,光学支,声学支,,,,,在第一布里渊区中， ，所以，,—— 光学波相邻原子反方向振动,,,,,,,,,,,,,波传播方向,,长波极限下，,原胞中相邻原子反方向振动，两原子质心保持不动若原胞包含一个正离子，一个负离子，则形成随时间变化的电偶极矩：,,,,,,,,,,,,,波传播方向,,+,+,+,+,-,-,-,-,3.2.4 二维双原子链格波的周期性边界条件、振动模式数,,设一维双原子链有N个原胞，周期性边界条件：,,,将波矢取值限制在一维双原子链的第一布里渊区（简约布里渊区）：,,波矢取值在一维双原子链的第一布里渊区中有 个不同分立值 对每一个波矢，对应两个圆频率 ， 代表原胞质心振动， 代表 原胞内两个原子的相对振动，共有 个独立振动模式（状态）3.2.5 三维晶格振动,三维晶格：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三个方向上的原胞数：,原胞中的原子数：,周期性边界条件：,,,将 取值限制在第一布里渊区内，对简立方晶格：,,取 个不同值,每个色散关系代表一支格波，共 支，其中频率最低的3支描述原胞与原胞之间的相对运动，称为声学支；其余（3p-3）支描述原胞内各原子之间的相对运动，称为光学支。

波矢：,取值的个数,振动模式数：,对应每个 值，有 个独立振动模式（色散关系） 晶体的总振动模式数为,格波数：,金刚石晶格的格波,原胞包含2个同种原子，格波数等于6声学波,,横波1,横波2,纵波,光学波,,横波1,横波2,纵波,格波,由N个原胞构成的金刚石型晶体，共有6N个格波6N个格波分为6支，3支为光学波，3支为声学波[110],金刚石晶格振动沿[110]方向传播的格波与波矢的关系,,,,,,,,,,,横1,纵,,纵,横2,光学波,声学波,横2,横1,长波范围,短波范围,,一维单原子链晶格中第 个原子的第 个振动模式引起的位移：,3.3 晶格振动的量子化和声子,3.3.1 格波的量子理论,,正则坐标,第 个原子的在 个振动模式作用下的总位移：,在谐振近似和最近邻近似下，第 个原子受到的总相互作用势能：,晶格总振动能量：,动能,势能,交叉项,,,,引入坐标变换：,,,,,,,是晶格振动的一个本征态，,构成 维态空间,可以看成是原子振动位移 在以 为基矢的 维坐标系下的新坐标，称为正则坐标在正则坐标系下，,由于原子位移是实数，所以:,的共轭复数：,,,将上述变换带入晶格振动总能量方程:,动能项：,,当 时，,当 时，,,,,,,,,势能项：,,,,得到正则坐标下，一维单原子链晶格振动总能量：,晶格总能量为 个独立简谐振子能量之和,在正则坐标下，实际空间中 个相互作用的一维原子链振动等效为 由本征态 为基矢构成的态空间中 个独立谐振子，晶 格振动总能量为关于正则坐标的平方项之和，消除交叉项，简化处理。

晶格振动是晶体原子在 范围内振动形成的，适合用量子力学处理量子力学分析结果指出，圆频率 的一维线性谐振子的能量满足下面关系时，波函数才满足单值、连续和有限条件：,声子概念的产生,3.3.2 声子,按量子力学分析结果，得到包含 个原子的一维晶格振动总能量：,同理，包含 个原胞，原胞包含 个原子的三维晶格振动总能量：,晶格每个振动模式的能量以 为最小基本单位，由不连续、分立的数值构成，振动能量增加或减少只能是 的整数倍，形成能量量子化能量子 称为“声子”例：由一维单原子链色散关系：,声子能量,,,,,,,,,,一维单原子链总振动能量：,。