第5讲 一元二次方程及其解法（一）--直接开平方法(提高) 学生版.docx

一元二次方程及其解法(一)直接开平方法一知识讲解(提高)【学习目标】1. 理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2. 掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3. 理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元 二次方程.要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：(1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次 数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如^2+ix + c = 0(a#0),这种形式叫做 一元二次方程的一般形式.其中血普是二次项，口是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项.要点诠释：(1) 只有当公0时，方程々j +8x + c = 0才是一元二次方程；(2) 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏 掉前面的性质符号.3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4. 一元二次方程根的重要结论(1) 假设a+b+c=O,那么一元二次方程ax +bx-\-c = 0(^ 0)必有一根x=l；反之也成立，即假设x=l 是一元二次方程做2 +bx + c = 0(a H 0)的一个根，那么a+b+c=0.(2) 假设a-b+c=0,那么一元二次方程ax2 +bx + c = 0(a # 0)必有一根x=-l；反之也成立，即假设x=T 是一元二次方程做2 +bx + c = 0(a H 0)的一个根，那么a~b+c=0.(3) 假设一元二次方程+3x + c = 0。

0)有一个根x=0,那么c=0；反之也成立，假设c=0,那么一 元二次方程企―+3x + c = 0(a H 0)必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1. 直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2) 直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3) 能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：① 形如关于x的一元二次方程/ =々，可直接开平方求解.假设々＞ 0 ,那么工=土& ；表不为工］=\fa9 ，有两个不等实数根；假设々 = 0,那么炉0；表示为再=弥2 = 0,有两个相等的实数根；假设】＜0,那么方程无实数根.② 形如关于X的一元二次方程工+以)2=凯可直接开平方求解，两根是+dm -n-ylmXj ― 9 Xj = •a a要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定C1.判定以下方程是否关于X的一元二次方程:(1) a (x2-l) +x (2x+a) =3x+a；(2) m2 (x2+m) +2x=x (x+2m)-1.【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元 二次方程进行 研究讨论时，必须确定对参数的限制条件.如在第(2)题，对参数协的限定条件是m壬 土 1.例如，一个关于x的方程，假设整理为(m-4)x^+nixT=0的形式，仅当m-4^0,即田乂4时，才是一元 二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0).又如，当我们说：“关于x的一元二次 方程(a-l)x2+(2a+l)x+a2-l-0……”时，实际上就给出了条件也就是存在一个条件由 于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”.类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数确实定^^2.己知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y (8y-l) +1,求出它各项的系数，并指出参数ni的取 值范围.【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处 理有关的问题.举一反三：【变式】关于x的方程2x2-(a + l)x = x(x- l)- 1的一次项系数是-1,那么a .类型三、一元二次方程的解(根)3.(大庆)假设 X。

是方程 ax2+2x+c=0 (a^O)的一个根，设 M=1 - ac, N= (ax0+l) \ 那么 M 与 N 的大 小关系正确的为( )A. M>N B. M=N C. M

6 >0的解集应是（ ）・A.〉一 B. aV-2 C. a>-2 D. a>-2 且 a/023. （重庆校级三模）假设关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2,那么代数式6a - 3b+6的值为（ ）A. 9 B. 3 C. 0 D. - 34. 己知方程/+版+ 0有一个根是-a（a 0）,那么以下代数式的值恒为常数的是（ ）.aA. ab B. — C. a+b D. a-bh,2 5 I 65. 假设疽9 = 0,那么］方o的值为（）.x-3A. 1 B. -5 C. 1 或—5 D. 06. 对于形如工的方程（X+〃1）2=〃，它的解的正确表达式是（）.A.用直接开平方法解得x = 4n B.当时，x = m4nC.当 h > 0 时，x = Vh - m D.当 n > 0 时，x = >/n — m二、 填空题7. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q = 0的两根分别为xi =2, X2= 1,那么p, q的值分别是 .8. （东胜区校级期中）假设关于x的一元二次方程（m-2） x2+3x+m2 - 4=0的常数项为0,那么m的值等于 •9. 己知x=l是一元二次方程X2 +inx + n = 0的一个根，那么m2 4-2mn + n2的值为 .10. （1）当k 时，关于x的方程以21淫一俄一 1）工+ 1 = 0是一元二次方程；（2）当k 时，上述方程是一元一次方程.1 〃 一111. a是方程x2+x — — = 0的根，那么 一:一:一 的值为 .4 cr + — — cr —20XX12. 。

是关于x的一元二次方程x2-20XXx+l=的一个根，那么疽20XX —的值疽+1为 .三、解答题13. (乌鲁木齐校级月考)一元二次方程a (x- 1) 2+b (x- 1) +c=0化为一般形式后为2x2-3x- 1=0, 试求a, b, c的值.14. 用直接开平方法解以下方程.⑵(岳池县模拟)(2x-3)W.(1)(沧浪区校级期中)(x+1) 2=4；15. 己知△ABC 中，AB=c, BC=a, AC=6, x 为实数，且也 + /? = 6, x2 =ab-9 .⑴求X的值；(2)假设△ABC的周长为10,求AABC的面积5山此.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】方程x2+ax+l=0 W x2 - x - a=0有一个公共根，二(a+1) x+a+l=O,解得x= - 1,当x=- 1时，a=2,应选C・2. 【答案】D；【解析】解不等式得a>-2，又由于a为一元二次方程的二次项系数，所以a尹0.即a>-2且a尹0.3. 【答案】D【解析】,关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x= - 2,."X ( - 2) 2+bX ( -2) +6=0,化简，得2a - b+3=0,2a - b= - 3,6a - 3b= - 9,・・・6a-3b+6=-9+6=-3,故答案为：D.4. 【答案】D；【解析】由方程根的定义知，把工=一。

代入方程得一人+1) = 0,而女0, a—b = —1.5. 【答案】B；【解析】木题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值.由x2-9 = 0,得* = 3,,2 5 Y + 6由分式有意义，可得尤3,所以工=一3.当乂 = 一3时，-—-—=-5，应选B.x-36. 【答案】C；【解析】因为当n是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n是非负数时， 直接开平方得x + m = ^2 ,解得工=去一所，应选C.二、填空题7. 【答案】p=~3, q=2；【解析】x=2是方程x2+px+q=0的根，.・.22+2p+q=0,即2p+q = ・4 ①P = -3, q = 2.同理，l2+p+q = 0,即 p+q = T ②联立①，②得|2P + 0 = f解之得：[p+q = T,8. 【答案】m=-2；【解析】由题意得：m2 - 4=0,解得：m=2, Vm - 2^0, /.m^2, m= - 29. 【答案】1;【解析】将x = l代入方程得m+n=-l,两边平方得m2+2mn+n2=l.10. 【答案】(1) 乂 1 ； (2)=-1.【解析】⑴k2-l夭0,..・k尹土 1.(2)由k2-l=0,且k-1尹0,可得k=T.11. 【答案】20；【解析】由题意可知tz2+^-- = 0,从而得屏+。

1, q2=Jq.—Cl — CI — CI 4 4 46/5 + 6/4 一 W 一 疽"（疽 + 1 （口3 a） 1 a（a2 4 45 544 5a-5 5a-512. 【答案】20XX.【解析】因为是方程的根，所以20XX 1 = 0,所以疽+1 = 20XX”，疽=20XX—1,三、解答题13. 【答案与解析】解：一元二次方程 a (x - 1) 2+b (x - 1) +c=0 化为一般形式后为 ax2 - (2a - b) x - (b - a - c) =0, 一。