A Mie米散射理论基础.docx

米散射(Miescattering);又称“粗粒散射”粒子尺度接近或大于入射光波长 的粒子散射现象德国物理学家米(GustavMie,1868 —1957)指出,其散射光强 在各方向是不对称的，顺入射方向上的前向散射最强粒子愈大，前向散射愈强 米散射当球形粒子的尺度与波长可比拟时，必须考虑散射粒子体内电荷的三维分 布此散射情况下，散射粒子应考虑为由许多聚集在一起的复杂分子构成，它们 在入射电磁场的作用下，形成振荡的多极子，多极子辐射的电磁波相叠加，就构成 散射波又因为粒子尺度可与波长相比拟，所以入射波的相位在粒子上是不均匀 的，造成了各子波在空间和时间上的相位差在子波组合产生散射波的地方，将 出现相位差造成的干涉这些干涉取决于入射光的波长、粒子的大小、折射率及 散射角当粒子增大时，造成散射强度变化的干涉也增大因此，散射光强与这 些参数的关系，不象瑞利散射那样简单,而用复杂的级数表达，该级数的收敛相当 缓慢这个关系首先由德国科学家G.米得出，故称这类散射为米散射它具有 如下特点：①散射强度比瑞利散射大得多，散射强度随波长的变化不如瑞利散射 那样剧烈随着尺度参数增大，散射的总能量很快增加，并最后以振动的形式趋 于一定值。

②散射光强随角度变化出现许多极大值和极小值，当尺度参数增大时， 极值的个数也增加③当尺度参数增大时，前向散射与后向散射之比增大，使粒 子前半球散射增大当尺度参数很小时，米散射结果可以简化为瑞利散射；当尺 度参数很大时，它的结果又与几何光学结果一致；而在尺度参数比较适中的范围 内，只有用米散射才能得到唯一正确的结果所以米散射计算模式能广泛地描述 任何尺度参数均匀球状粒子的散射特点19世纪末，英国科学家瑞利首先解释了天空的蓝色：在清洁大气中，起主 要散射作用的是大气气体分子的密度涨落分子散射的光强度和入射波长四次方 成反比，因此在发生大气分子散射的日光中，紫、蓝和青色彩光比绿、黄、橙和 红色彩光为强，最后综合效果使天穹呈现蓝色从而建立了瑞利散射理论20世纪初，德国科学家米从电磁理论出发，又称粗进一步解决了均匀球形 粒子的散射问题，建立了米散射理论，粒散射理论质点半径与波长接近时的 散射，特点：粗粒散射与波长无关，对各波长的散射能力相同，大气较混浊时， 大气中悬浮较多的的尘粒与水滴时，天空呈灰白色米散射理论是由麦克斯韦方程组推导出来的均质球形粒子在电磁场中对平面 波散射的精确解一般把粒子直径与入射光波长相当的微粒子所造成的散射称为 米散射。

米散射适合于任何粒子尺度,只是当粒子直径相对于波长而言很小时利 用瑞利散射、很大时利用夫琅和费衍射理论就可以很方便的近似解决问题米散 射理论最早是由G1 Mie在研究胶体金属粒子的散射时建立的1908年，米氏通过电磁波的麦克斯韦方程，解出了一个关于光散射的严格解， 得出了任意直径、任意成分的均匀粒子的散射规律，这就是着名的米氏理论［4-6］ 根据米散射理论,当入射光强为I0,粒子周围介质中波长为入的自然光平行入射到 直径为D的各向同性真球形粒子上时，在散射角为距离粒子r处的散射光和散射 系数分别为：从上式中可以看到，因为是各向同性的粒子，散射光强的分布和6角无关同时， 上式中：i1、i2为散射光的强度函数;s1、s2称为散射光的振幅函数;a为粒子的尺寸参数(a二 n D/入);m=m1+im2为粒子相对周围介质的折射率，当虚部不为零时，表示粒子有 吸收对于散射光的振幅函数，有：式中an、bn为米散射系数，其表达式为：其中："■-二•'是半奇阶的第一类贝塞尔函数；m：-E''二.'是第二类汉克尔函 数;Pn(cos 0 )是第一类勒让德函数;P(1)n(cos 0 )是第一类缔合勒让德函数。

Mie散射理论Mie散射理论是麦克斯韦方程对处在均匀介质中的均匀颗粒在平面单色波 照射下的严格数学解由Mie散射知道，距离散射体r处p点的散射光强为 式中:入为光波波长;I0为入射光强;Isca为散射光强;为散射角;中为偏振光的偏 振角式中:*()和S2(0)是振幅函数;an和bn是与贝塞尔函数和汉克尔函数有关的函 数;兀n和，n是连带勒让得函数的函数，仅与散射角0有关其中'-、式中:卬〃(a)和£n(a)分别是贝塞尔函数和第一类汉克尔函数;中〃(以)和^ (a)是卬(a)和£ (a)的导数;a为无因次直径,a=曲入,d为颗粒的实 n n n际直径;人是入射光的波长;m是散射颗粒相对于周围介质的折射率，它是一个复 数，虚部是颗粒对光的吸收的量化由以上公式可见,Mie散射计算的关键是振幅 函数*(0)和S2(0)，它们是一个无穷求和的过程，理论上无法计算求解振幅函 数的关键是计算an和bn,所以Mie散射的计算难点是求解an和bnMie散射理论的数值计算通过以上分析可知,Mie散射计算的核心是求解an和bn，我们编制程序也是围绕它进行编写在an和bn的表达式中卬(a),中(a),^ (a)和^ (a) nn n n满足下列递推关系：这些函数的初始值为；与散射角有关的卬〃 (a)和8 n (a)满足下列递推公式：有了这些递推公式可以很方便地通过计算机程序求解。

但是对于n的大小， 因为计算机不可能计算无穷个数据，所以n在计算之前就要被确定散射理论基础与Matlab实现若散射体为均匀球体，如图1所示,照射光为线偏振平面波,振幅为E,光强I0,沿 z轴传播，其电场矢量沿x轴振动散射体位于坐标原点O,P为观测点散射光方向 (OP方向)与照射光方向(z轴)所组成的平面称为散射面，照射光方向至散射光方向 之间的夹角称为散射角，而x轴至OP在乂)平面上投影线(OP')之间的夹角6称 为极化角观测点与散射体相距r根据经典的Mie散射理论，散射粒子的尺度参 数为a =2 n a/入，其中a为球形粒子的半径,散射粒子相对周围介质的折射率为m=m1+i*m2则散射光垂直于散射面和平行于散射面的两个分量的振幅函数为：以上式中：Jn+1/2(z )和Yn+1/2(z)分别为半整数阶的第一类，第二类贝塞尔函数 P(Dn(cos)为一阶n次第一类缔合勒让德函数;Pn(cos)为第一类勒 让德函数在数值模拟过程中选取初始下：微粒子对光的散射和吸收是电磁波与微粒子相互作用的重要特征，而微粒对 电磁辐射的吸收与散射与粒子的线度有密切关系，对于不同线度的粒子必须应用 不同的散射理论°Mie散射理论主要用于从亚微米至微米的尺寸段;在微米以下至 纳米的光散射则近似为形式更明晰简单的瑞利散射定律，散射光强烈依赖于光波 长入(I〜入-4);而对大于微米至毫米的大粒子则近似为意义明确的夫朗和费衍射 规律了。

Mie散射理论给出了球型粒子在远场条件下的散射场振幅an、bn以及粒子内 部电磁场振幅cn、dn的计算表达式，通常称为Mie散射系数式中m表示微粒子外部介质的相对折射率,x= k a,a为球的半径,k =2 n /入称 为波数,U为相对磁导率，即球的磁导率与介质磁导率的比值,jn(x)和h(i)n(x)分别为 第一类虚宗量球Bessel函数和Hankell函数散射系数，消光系数及偏振状态下散射相位函数：散射截面osca（散射率Qsca）、吸收截面oabs（吸收率Qabs）、消光截面函（消光 率Q函）、后向散射截面b（后向散射率Qb）以及辐射压力pr（辐射压力效率Qpr） 其表达式如下：其中i为sca、abs、ext、pr分别表示散射、吸收、消光、辐射压力按照能量 守恒定律有：Qpr （辐射压力效率的计算公式）：Qb （后向散射系数）：这些都是无穷级数求和，在实际计算过程中必须取有限项,Bohren和Huffman 给出了级数项最大值取舍的标准：对于单位振幅入射波经微粒散射后,其散射场振幅的大小与散射角有关，在球 坐标系下，远场散射振幅的大小为：其中S1和S2为散射辐射电场在垂直及平行于散射面的两个偏振分量。

微球内部场振幅计算公式颗粒内部电场强度为：其中M⑴1n和N⑴e1n为矢量波球谐函数，在球坐标系中定义如下：吸收截面Q abs具有损耗介质颗粒的吸收截面为：其中8〃是粒子相对介电常数的虚部，经整理可得：式中mn、nn为：实际上由Mie散射理论可知，上式中的积分项为电场强度的平方对角度6全空 间积分的平均值，即：于是吸收效率为：式中x，=rk=z/m当xn1时即瑞利散射情况，颗粒的内部平均场强为常数，其值9为：「妒-】卜ImprovedMiescatteringalgorithmsMie计算存在的问题就是如何最有效地构造Mie计算，同时保证准确性和避免 数值的不稳定性和病态°Mie计算以耗时着称，首先无穷项级数N的求和，例如： 100四秫的水滴在0.5 pm的可见光散射情况下，大约需1260项求和其次，典型的计算都希望能对一系列半径（如对尺寸分布求积分）、一系列波长（如对太阳 光谱求积分）及一系列折射率求和（如通过散射参量反推折射率）当折射率虚部叫 很大时，用向后循环法求An很不稳定而向前递推总是稳定的（但向后递推 Im安全时，总是优先选择，因为其计算速度很快）得出允许向后递推的经验标准：用正确的向前地推与相对应的向后地推做比较，当发现对和g的相对误差超过10-6时，认为计算失败。

对于一对确定的（x,mRe），我们采用向后递推寻找第一个循环失败的研究表明：对于确定的"「N，，，有川丁的值随着x的增加很快趋向于一个确定值IHfhrJ 〜一8 + 2622m% - 0.4474m^+ 0.002 旭- 0.000175^7如果在任意角度下9、S2的实部和虚部的相对误差超过10一5时，认为对S1和S2的向后递推失败而此时，Qsca Qext并不受影响，因为当*，S2的相对误差达到10一5时，点的相对误差总维持在10一10以下际）=13.78mL - 10.8m Re + 3.9/E" 一 . - 对散射强度和偏正度（|Sd2"|Si|2）/（|Sd2+Sd2）连分式算法总结：Mie散射计算的核心是计算an和bn其中^ „（ a ^= a Jn（ a）, W “（ a」=a j“（ a）+i a 丫“（ a）,j”和丫”分别是第一和二类贝塞耳函 数,a 称为当量直径,以=2膈*是球形颗粒的真实半径，'是入射光的波长,m为折射率 式中P为函数任一自变量贝塞耳函数递推关系式：Mie散射计算中Jn、Yn、Dn的计算是关键和难点对于Dn,我们采用的是Lentz的连分式的算法：Lentz证明有如下关系：其中，□：=「.「"¥；］ - & - I1”，。

我们注意到当k 时，- fl广气药 …哗所以可以利用上式累积相乘直到满足精度要求可根据精度要求例如10-来确定所要达到的k值）对于J“、Y“的生成本文也采用连分式的算法具体方案如下：令「=% a）/j“（勺，根据贝塞耳差积公式：由以上二式整理得：而一 i" 时｝¥甘一 13)・J - 1 f 阳上式中Cn的计算是采用类似于Dn的连分式的形式，计算中可调用同一函数计 算若已知初值：=应 11"/''Ji，wj = sin fit/ O2 ■ 3 皿〔件Yc- = ■ cqs 闵 口； Yi f %) = ■ co s £?/ 皿'-si n 知' 皿； 这样就可计算出各级Jn和YnWilliamJ.Lentz关于连分式的文章：Ij M =翌也=老+ 回-八广其中n f =心=*以看温」为基础，采用贝塞尔函数比值的连分式表示法：\利 用此法可产生所有的「“'：’，尽管耗时，但能减少存储。