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毕业论文模板及格式要求———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： Picard逐次逼近法在高维隐函数存在定理证明中的应用[华文中宋二号居中]Picard iterative method and its application toprove the existence of high-dimensionalimplication function theorem[英文题目为Times New Roman二号]专 业: 数学与应用数学[华文中宋三号]作 者:黄东冬[华文中宋三号]指导教师: 李松华[华文中宋三号]湖南理工学院数学学院二○一一年五月 岳阳[空一行黑体小三号]摘 要[空一行黑体小四号]在附加Lipchitz条件根底上, 利用Picard逐次逼近法证明了高维情形的隐函数存在定理, 为高维情形的隐函数定理提供另一种证明, 同时为隐函数的近似显式表达式求法提供一种方法. 关键词: Picard逐次逼近法; 隐函数存在定理; Lipchitz条件[注: 以上局部的开场都需空两个中文字符, 关键词为黑体][空一行黑体小三号]Abstract[空一行黑体小四号]Based on adding Lipchitz condition, we prove the high dimensional implicit function theorem using Picard iterative, which provides another proof of it. Furthermore, we obtain a method for the approximate explicit expression of implicit function.Keywords: Picard iterative method; implicit function theorem; Lipchitz condition [注: 以上英文摘要局部的字体都是Times New Roman, 且每一段开场都需空四个英文字符, Abstract为加粗小三, Keywords为加粗小四, 其余小四, 关键词之间用分号隔开, 关键词首写字母不大写(专有名词除外)][空一行宋体小四号]目 录[黑体小三居中][空一行宋体小四号]摘 要 IABSTRACT II0 引言 11 定理 12 定理证明过程 22.1 构造Picard近似函数序列 32.2 证明收敛性 4 2.3 证明所得序列的极限为初值问题的解 6 2.4 证明解的唯一性 7参考文献 10[字体全部为宋体小四]0 引言[一级标题为黑体小三][一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号]Picard逐次逼近法在数学理论及数值计算中有及其广泛的应用, 如求证微积分方程的解的存在唯一性, 求取微积分方程的近似解等. 在文[2-4]中, 他们利用Picard逐次逼近法证明了一阶常微分(积分)方程解的存在性, 文[6-9]主要介绍了Picard逐次逼近法的一些应用和推广方面的研究. 对于隐函数的存在性定理, 文[1]中采用分析的方法证明了这一定理. 邹添杰在[5]中通过附加了Lipchitz条件, 利用Picard逐次逼近法给出了一维隐函数存在定理的证明. 本文利用Picard逐次逼近法证明了高维情形隐函数的存在性定理, 同时为高维隐函数的近似求法提供一种方法.[一级标题在正文中间时, 前面需空一行宋体小四号]1 隐函数定理[一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号]首先假设隐函数满足(i) 在: , ()上具有对一切变量的连续偏导数; (ii) ; (iii) ;(iv) 在上关于满足Lipchitz条件: 即对上任意两点, 不等式 公式编号左对齐(1.1)恒成立, 为与和无关的正常数(Lipchitz常数). 那么有(i) 在点的某一邻域内, 方程唯一确定一个函数,且满足; (ii) 在内连续; (iii) 在内对各个变量有连续偏导数, 且, () ()其中, . 2 隐函数定理证明过程 下面将运用Picard逼近法对定理作出证明. 证明 假设在内能唯一确定可导的函数, 且满足以及, 即等价于以下的初值问题: ()在内有唯一解且. 简记, ()下面将按照Picard逐次逼近法的四个步骤予以证明. [二级标题需空两个中文字符, 前面空一行宋体小四号] 构造picard近似函数序列[二级标题为黑体四号]首先构造一个Picard近似函数序列. 用满足的函数 ()代替中的, 那么 ()其右边是在中的函数. 对()两边关于积分(很明显在内连续, 故可积), 并令它满足. 于是得到关于的一次近似 ()(其中)在内连续. 再将代入()的右边就得到关于的二次近似 ()(其中)在内连续. 如此下去, 我们可以得到次近似解 ()(其中)在内连续. 为了保证上述逐次逼近可以一直进展下去, 要证明当时, 有, . 因为应该保持在之中. 如果某个超越出了, 由于函数只能保证在内有定义, 由()可以看到次近似就不能保证在上存在了. 以下将用数学归纳法予以证明. 易知在区间上函数满足. 假设函数在此区间上满足, 由()式有.从而有. ()由于已经假定在区间上. 所以根据定理的条件(i)以及就有. ()由此, 我们在区间上按逐次逼近法得到了一个连续序列: , , ,, , 证明收敛性下面证明近似序列在邻域内一致收敛. 为此我们考察以下函数级数 ()其局部和为 所以说, 如果函数项级数()在内一致收敛, 那么说明存在. 为证明级数收敛, 我们首先来估计级数各项的绝对值.首先, 故 ()由一次近似和二次近似的定义以及定理条件满足Lipchitz条件, 我们有下面我们运用数学归纳法来证明不等式. ()对于任意一个自然数都成立, 当时我们已经证明不等式成立. 现在假设对于自然数不等式()成立, 下面证明对于不等式也成立. 于是我们有 ()由归纳假设(13), 我们有 . ()由于, 故级数()自第二项开场, 每一项绝对值都小于正项级数的对应项.而上面这个正项级数显然是收敛的, 故由优级数判别法, 级数()在邻域内不仅收敛, 而且是一致收敛的. 设其和函数为, 因为近似函数序列在邻域内连续, 因而所得一致收敛函数的极限函数亦连续. 证明所得序列的极限为初值问题的解下一步证明是初值问题()的解首先我们在Lipchitz条件下作以下估计 . ()由于函数序列在邻域内一致收敛, 故对于任意给定的, 存在自然数, 当时, 对于邻域内所有()恒有,从而.由此可知. ()即 . ()从而我们对等式(8)分别两端极限有 . ()亦即即有 ()其中. 证明解的唯一性 最后我们来证明()的解的唯一性.假设与都是()的解，于是就有其公共区域为，由前面的第三步有 . ()和.()由(2.20)和(2.21)得其中. 记 (2.22)其中, . 于是上述式子可以写成两边乘以, 有两边从到积分, 且由得, 又, 故. 又由(2.22)知, 所以.同理可证当时. 综上所述当时, ,求导得到,即,其中. 这就证明了满足()的解只有一个.由证明开头的分析及Picard逐次逼近法的几个步骤知道, 在内唯一确定一个函数, 且满足, 同时在内连续. 到此定理证明完毕!致谢 本文是在李松华博士的指导和帮助下完成的, 在此对李教师表示衷心的感谢!注:1. 论文的页面设置请参阅?毕业论文工作手册?P24, 三级标题用黑体小四不空行;2. 论文中的公式编号统一采样“(一级标题序号.公式序号)〞格式且右对齐, 如上面论文中的公式3. 论文中的“定义, 性质, 引理, 定理〞等都用黑体小四, 统一采样“〞的编号, 如定义1.1 设是一个阶矩阵, 是中的元素的代数余子式, 那么称为的伴随矩阵.定理 (〕, 且.证明 当时, , 那么.4. 论文中的“例题, 解〞都用黑体小四, 统一采样“本类序号〞的编号, 如例13 将在内展开为Laurent级数.解 因为, 所以由 ,可得,,5. 论文中的“表〞都用黑体五号, 居中或文字环绕，表头统一采样“本类序号〞的编号且放在表头居中, 表中的文字统一要求采用五号, 中文用宋体, 英文用Times New Roman, 例如表 3字段名说明数据类型Not Null字段大小备注Id主键charYes10教师代码UsernamecharYes10教师用户名6. 论文中的“图〞都用黑体五号, 居中或文字环绕，统一采样“本类序号〞的编号且放在图下面, 例如图 13[参考文献另起一页, 且前空一行宋体小四]参考文献[黑体小三居中][后空一行宋体小四,文献局部用五号, 中文用宋体, 英文用Times New Roman][1] 陈传璋, 金福临, 朱学炎. 数学分析(上、下册) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1983.[2] 东北师大微分方程教研室. 常微分方程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.[3] 王高雄，周之铭，朱思铭. 常微分方程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.[4] 郭迎娜, 赵军. 关于一个积分方程解的存在唯一性证明[J]. 安阳工学院报, 1(2006), 71-74.[5] 邹添杰. 毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用[D]. 广州: 中山大学05级数学与应用数学基地班.[6] 何昌，孙昭洪. 一类非线性算子方程解的迭代逼近 [J]. 四川大学学报〔自然科学版〕, 3(20。