2022年高中数学 第三章 三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 新人教A版必修4.doc

2022年高中数学 第三章 三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 新人教A版必修41．问题导航(1)同角三角函数的基本关系与三角函数的定义有怎样的联系？(2)同角三角函数的基本关系对于任意角都成立吗？(3)如何理解“同角”？2．例题导读 P113例1，P114例2，例3.通过此三例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决已知角的一个三角函数值求这个角的其他三角函数值． 试一试：教材P117习题3－1 A组T1你会吗？ P114例4.通过本例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决给值求值问题． 试一试：教材P117习题3－1 A组T2、T3你会吗？ P115例5，例6.通过此二例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数式的化简问题． 试一试：教材P117习题3－1 A组T5你会吗？ P116例7.通过此例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式进行三角恒等式的证明． 同角三角函数的基本关系语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，当α≠kπ＋(k∈Z)时，同一个角α的正弦和余弦的商等于α的正切．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin22α＋cos22α＝1都成立．(　　)(2)对任意角α，＝tan都成立．(　　)(3)对任意的角α，β有sin2α＋cos2β＝1.(　　)(4)sin2α与sin α2所表达的意义相同．(　　)解析：(1)正确．当角α∈R时，sin22α＋cos22α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当＝kπ＋，k∈Z，即α＝2kπ＋π，k∈Z时，tan 没意义，故＝tan 不成立，所以错误．(3)错误．当α＝，β＝0时，sin2α＋cos2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan α等于(　　)A.　　　　　　　 B．－C. D．－解析：选C.因为sin α＝－，且α是第三象限角．所以cos α＝－＝－.所以tan α＝＝.3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________．解析：因为3sin α＋cos α＝0，所以cos α＝－3sin α，所以tan α＝＝＝－.答案：－4．已知sin θ＝，cos θ＝，则m＝________．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.答案：0或8对同角三角函数的基本关系式的两点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如与，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin2α＋cos2 α＝1.(2)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．　　　　　　　利用同角三角函数关系式求值　已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．(链接教材P113例1，P114例2，例3)[解]　法一：因为tan α＝－2<0，所以α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝.当α为第二象限角时，cos α＝－，代入①得sin α＝；当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－.法二：因为tan α＝－2<0，所以α为第二或第四象限角．由tan α＝，两边分别平方，得tan2α＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以tan2α＋1＝＋1＝＝，即cos2α＝.当α为第二象限角时，cos α<0，所以cos α＝－＝－＝－，所以sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝.当α为第四象限角时，cos α>0，所以cos α＝＝＝，所以sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝－.方法归纳已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角所在的象限．当使用cos α＝±或sin α＝±时，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号．这类题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数的值，而且角的象限已被指定，那么只有一组解．(2)如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角在哪个象限，则需要进行讨论．1．(1)已知α为第三象限的角，且tan α＝，则cos α的值为(　　)A.　　　　　　　 B．±C．－ D．－(2)已知tan α＝3，则2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α的值为(　　)A．3 B．C. D．(3)已知tan θ＝2，求：①cos θ，sin θ；②.解：(1)选C.由题意tan α＝＝，故cos α＝3sin α，代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝，因为α为第三象限的角，所以sin α＝－，故cos α＝.(2)选B.法一：因为tan α＝3，即＝3，所以sin α＝3cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos α＝±，当cos α＝时，sin α＝，2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α＝2×＋4××－9×＝＋－＝.当cos α＝－时，sin α＝－，2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α＝2×＋4××－9×＝＋－＝.综上可知2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α＝.法二：2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α＝＝由于tan α＝3，原式＝＝.(3)①由题意得即所以所以4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，若θ为第一象限角，则cos θ＝，sin θ＝.若θ为第三象限角，则cos θ＝－，sin θ＝－.②原式＝＝＝＝.　　　　　　　三角函数式的化简　(1)若α为第二象限角，则 ＝(　　)A．sin α B．－sin αC．cos α D．－cos α(2)若tan α·sin α<0，化简 ＋ .(3)化简·.[解]　(1)选B.＝＝＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.(2)由于tan α·sin α<0，则tan α，sin α异号，所以α在第二或第三象限，所以cos α<0，原式＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝－.(3)原式＝·＝·＝·＝＝　若把本例(1)中“α为第二象限角”改为“α为第四象限角”，则结果如何？解：由上面化简过程知 ＝|sin αcos α|.因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，所以|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以＝＝－sin α.方法归纳(1)三角函数式的化简方法对于三角函数式的化简，其本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，因此，不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形．(2)对三角函数式化简的原则①使三角函数式的次数尽量低；②使式中的项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④使式中的分母尽量不含有三角函数；⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号；⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．2．(1)已知sin θ<0，tan θ>0，则 化简的结果为(　　)A．cos θ B．－cos θC．±cos θ D．以上都不对(2)化简：＝________．(3)化简： ＋ .解：(1)选B.因为sin θ<0，tan θ>0，所以θ在第三象限，所以原式＝ ＝|cos θ|＝－cos θ.(2)原式＝＝＝＝＝1.故填1.(3)原式＝ ＋＝ ＋ ＝＋.因为α∈，所以∈，所以cos－sin>0，cos＋sin>0，所以原式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.　　　　　　　三角恒等式的证明　求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.(链接教材P116例7)[证明]　法一：左边＝1＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝1＋sin2α＋cos2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．法二：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，所以左边＝右边．法三：令1－sin α＝x，cos α＝y，则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.所以左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．方法归纳证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3．(1)证明：＝.(2)求证：－＝.证明：(1)左边＝＝＝＝＝右边．(2)左边＝＝＝＝＝＝＝右边．易错警示因忽略角的范围致误在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，求tan A的值．[解]　法一：因为sin A＋cos A＝，①　所以(sin A＋cos A)2＝，所以2sin Acos A＝－，所以sin Acos A＜0.又因为0＜A＜π，所以sin A＞0，cos A＜0，所以sin A－cos A＝＝＝.②由①②，得sin A＝，cos A＝，所以tan A＝＝－2－.法二：因为sin A＋cos A＝，所以cos A＝－sin A.又因为sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＋＝1.整理，得4sin2A－2sin A－1＝0，解得sin A＝或sin A＝.又因为00，所以sin A＝，cos A＝－sin A＝，所以tan A＝＝－2－.[错因与防范]　(1)本题易错解为tan A＝－2±，原因在于忽略了三角形内角A的范围为(0，π)这个隐含条件，进而对sin A，cos A的符号判断出现错误．(2)对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，。