“放缩法”技巧.doc

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知求证：证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n ，求证：＜3．证明：=＜1＋ ＜１＋==1＋ (－) =1＋1＋－－＜2＋＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证： 证明：∵ ∴ ∴ ， ∴本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处7、利用基本不等式放缩例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证 .因为 ，，故只要证 ，即只要证 .因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm， 求证证明本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

求证 证明 说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1-<2 ,这使的证明失败.例 1 4 分析 浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”常用的放缩技巧还有：（1）若（2）（3）若则（4）（5）（6）或（7）等等用放缩法证明下列各题例1 求证：证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜所以例2 （2000年海南理11）若求证：证明：因为所以因为［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以，所以例3 （2001年云南理1）求证：证明：（因为）［又因为（放大）］，所以所以例4 已知求证：证明：因为例5 求证：证明：因为（因为）（放大）所以例6 （2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当时，函数的最大值是证明：因为原函数配方得又因为所以（缩小），所以函数y的最小值是当所以（放大），所以函数y的最大值是例7 求证：证明：因为（分母有理化）所以原不等式成立。

例8 （2002年贵州省理21）若求证：证明：因为而所以所以同理可证（当且仅当时，取等号）例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得所以原不等式成立例10 （1999年湖南省理16）求证：证明：因为又所以原不等式成立例11 求证：证明：因为左边证毕例12 求证证明：因为所以左边注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若则2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩第 1 页 共 14 页。