线性系统理论课后答案.docx

6 XI给定图P2.12)和＜3所示两个电路，试列写出其状态方S和输出方程其中，分别指定：⑹状态变组廿二叱•勺输入变M « = ef(r):输出支量尹二/(b)状态变宣组X严气，输入变S“y(O；输出变量J・“CL(«)P2 1解 本题A于由物理系统餐立状态令问描述的基本题，意在训练正磺和熟壕运用电 路定律 列写出电路的状态方程和输出方程•(1)列写P2 1(a)电路的状态方程和输山方程首先.考虎到电容C和电感E为给定电路 中仅有的两个储能元件•电容端电压弋和流经电感电流了构成此电路的线性无关极 人变*组，从 而透取状态变*组州二%:和巧=i符合定义要求基此，利用电路元件关 系式和回路基尔《夫定 律，定出电路方程为C虬rdrL—+ = e再由上述电路方程导出状态变量陀和i的导》项，可得到状态变查方程规范形式，血C I •—=一(tU C d/ 1 心 1d/ L c L L表%=3山和dW/dn并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程：R71 Z,继而.按约定输出y = A可直接得到此电路的输出方程:(b)列写P2.i(b)电路的状态方程和《ta方程•类似地.考虑到电容C］和C2为给定电路中 仅有的两个储能元件，电容端电压乜和七构成此电路的线性无关极大变fi组，选取状态变量 组二叱和可二叱2符合定义要求，基此，利用电路元件关系式和回路基尔 霍夫定定出电路方程 为durGRpM叱+叱之再由上述电路方程导出状态变量叱和叱的导数项，可得到状态变量方程规范形式：%1 I 1少 GR q GR 5 C,Kdr八不叱~繇〃6 +丽e表 M也C| /曲和MqI并将上述方程组表为向量方程，就得封此电路的状态%L«cJ+七.方程:. «—C\RqR1 11 C 点 GR继而，按约定输出y =坯，可由电路导出:尸叱=%+七将其表为向*方程，就得萸i此电路的皴出方程，K2.6求出下列 输入输出描述的一个状态空同描述：(i) 施)二 2箜十 18$+40u(s)『+ 6“ +11S+6(ii) 型十妙⑴—u(j) (g + 3)2(zl)解本®属于由传递函数型输入输出描述导出状态空间描述的基本fi。

通常，可以 采用务种算法来实现两种描述间的转换.(i)确定翌二吾伴巴-的-个状态空间描述ttW ?+6? + lh + 64子题中的严真传递函数一般表达式加)_加2十如+4«($) f+02『4 坷 J + 兔■ 「0 10 ..01•ro•01■0U =001+0 U%1-6-11-6.51■•■•£ =0 0［叫实质1：等同于题25中的严真“时间域输入输出播述”，可采用上S中两种算迭来确 定其 对应状态空闾描述肖采用tS中算法1时，得到金合定传递函数的状杰空间描述，当采用上题中算法2时，先来定出#"产2, 02=4-勺A=18^⑹⑵二6,厂[女石人叮”2 = [404.18 2A二梢=4076x6)-(11x2) 一 18,得到给定传逆丙数的状态舟间描述:■ *1a】• .+02.A.〕%°1「0 1 0■ ■2 ■« =： 0 0 1+6 j[-6 -11 -6-18■[1 0 0]工 2.F,„ • 1+心)«(0 (s-sj ($7)($7)(- 眄)($7)L (〃也极点g](ii)确定瞑= L 的一个状态空间描a3,Jj三3,眄,等点狗5.£©) 0+3 «田 1)基此，可将上述传递^表却:本子⑧申的严)t传递函《一股表达式可进而表为看成是“由右申左二?环节足亦由警 导出粘且.ii=$两+血[-z也”(S)($7)由£($)二」一；【&何皿⑶］导出舄二峡+中加 d)由右(S)二 '幼)导出牛号中勺($5)”y(s} = x"(s)导出 y = x,从而，可定出此输入输出描述的一个状态空间描述:.■\ 0 o'1 $2 0• .+* -订b0 =■ 3 0 o'1 3 0• .%+M.0 K20 . J0 1 I4力10 1]可3 »0'23 -1X +5H2. 12计算下列状态空间描述的传翅函数g($):) = (1 2 卜+4”解本题属于由状态空间描述计算传递函数的基本题。

鉴于所讨论系统为二维，H接运用基木关系式g(s)=£(>A) ‘0就可简单定出其传 递函数g(sh对此，先行计算：1 + 51-($ + 5) ($+1)+3 益丁+6$ + 8—3$十1w 旬 $+1基此■即可定出给定系统的传递函数・gG)为[1g一需呼一2]J+1 -3 £ +5■ -I5 + 55八+ 65 +12$十-3■_ I 0,0 1fill采用除敕㈱外的三种方法，计茸下列各饨库』的黯锁翻巳(i)/h-20(11) >4-11 -解 槌穴在训嫌正秫^运用“射计离隹赫数^『”^种斟算味0-2 -3特缈汛对龊斛右先就出=•* +3$ +2=(s4 2Xz1)S -1 待征多项式det何-4) 二2 # 3待征值血=-2.22=-1再定出/!的属于特征值血=-2和；片和叫，有0L ■r■ 2vjVn二-2"I,-2 -3?12」■叽.-2%.0■■ ■=_1■”2!-2・3K.匕.—2.导出基此，取任意非零实数Vn-V2i-1»启出导a12 二-1的特征向量■■ f■1.叽-2k ■■hl■T片二1，个变换阵及蔑逆为-2从而，定出矩阵A的矩阵指数函数/为有限项晨开法•e・ JJ [V + 2严•严0'■ ■/ 0'■-1 -1'厂1 =1 10 「」-2 -10『2 L・.■ ■■ .*+2 匚 714右■ 1严]ri -1心一！•• .严-1 21T 1"5'-©."*+2e'*'. .先行定出If已定出•矩阵＞4的特征值为州=-2和；l2=-l・基此，辿)S由此，即可宦出矩阵指数函数/为r' = Oq ⑵/ + Oj (/)A =[-尸‘专 2c'0 1 -2-3—ijF C Y — C**""-2/+2严-/+站力预解疑阵法・先行定出，矩阵，的预解矩阵为£4 3$2 匚 3$ + 2$ -I -I Nc 小 c +3 + 22 $+3+ ($*1)0 + 2)s 十 2)5+!) (& +2)_=匕5 -即可定出矩阵描数函数J『为$+3(s + l)G2S£ 2)(S + 1)(5再利用立立普拉斯反变梭尸2 1 1 _»s+1 $+2 s+I s+2.—''—+' 2 2 1 勿 ,十一.$+1 S + 2 S + 1 $卜 2 ・eU3_"'}=0 1 0(ii)确定,二 0-6 -)1-6j挣伍值法。

对给定矩阵先行定出j2f -/ ~2ize——e e——c-2e" + 2 严 _e" + 2 严0 1的矩阵指数函数€曲挣征多项式 detOJ - A)=$3 + 6$, +1 Ls + 6 =(£ + 3X£ + 2X$ +1)特征值Zi二—11A-2 = —2 f "3 = —3再定出/的属于特征值A,=-i, "1=-2和zl3=-3的特征向量片I和吟,010叫1\-Vn由001片2=-1勺2•-%-6 ■0-111-6■ 0▼■%■1•一 32v,1-由001%=—2%-2吩-6 ■-11-6■匕3.•炀・广2叽Hl1导出片二片2=-1V^・.■导出》2 =一 2如4 • ■■ 10. ■二3叮■ ■■由0 0 01=-3女『=-3"32导出V3 ==-6 -11-6叽J厂3也9基此，取任意非零实数论“2产”31=1,定出一个变换阵及其逆为1 1P = W 叫叩二 T 一2 1 4从而'定出矩阵指数苗数〃，为0 .0 = p 0 汀 0F 二0 0严U % %-3 和 p7 = -3 V -19 1. 1 % %.■ 1 1 '% % -3 -4-1 -2 -3 -1 J % %1 4 9■'1 心 4?"-I■] -1 1-1r>qI心1 -2 4«2f.1人可• ■I -3 9■ Ac• •、1 «有限项展开法・^已定出，矩碎/特征值为4,-1, 42-2和彳厂-3・基比先行宦L2由此，即可定出矩阵指数函数/为-3c * + 6e -3eJ 切3/- 12 严 + Z2 ^2-L 8/ ・2e--16c4e«预解犯阵法。

先行定出教e4a给定矩阵/的预解矩阵为1-1/ -舄(曲十 oJfM + ajCW±+± c”2-加，+ 2 ^ I2±T-46"+2 严2『+ 6s + 11£ + 6 I_ft IJ +6 M/—+11S46-6£ + 6$+Jk + 6S? + 6$2 + II$+6s • —— — +6/+ lb + €-6s/ + 6s2。