从Galois理论谈起[共27页].doc

从 Galois 理论谈起, 100190: wwli@: 2015-11-15目录1 域论回顾 22 Galois 对应 33 应用: 作图问题 44 拓扑学中的类比 55 范畴语言 76 线性常微分方程与单值作用 97 统合: 淡中对偶理论 118 微分 Galois 理论一瞥 12参考文献 14缘起文 2014 12 12 学学 (中) 的一, 的. Galois 理论程的. 一 Galois 理论, 常的题. 目的学应的, 顾, 的理论, 一. , ; 的, 理应. 的, 学,. Galois 理论起, 一程的, [11] 的分 . 学的, : “” , 的.11 域论回顾Galois 理论的域论语言, E. Steinitz 20 . 理论一学, [11]. 单回顾.• 域, , , (分) 的, 合, 分性; : xy = yx. 言, 一域 (F, +, ·) 一的; 单 1. 用的: Q (理域) , R (域) , C (域) .• 域 F X 的的 F[X], 理域 F(X), 的, F[X, Y ] .• F E 的域 (: F 对 E 中的 +, −, · ) , E/F.E F 的域, • E, F 域, ϕ : F → 的域.E 单, ϕ 域的, ϕ(F) E• 域 E/F 的 [E : F] dimF E, E F-.• , 对 α ∈E F- F[X] 中的 Q Q(α) = 0, α F 的: Q 的. P ∈F[X] {Q ∈ F[X] : Q(α) = 0} = (P) := P · F[X], α 的; P F× 中的比常的一的. α ∈ 的, E/F .E F, 的问题的. , P ∈F[X], “” 域 E/F P E 中; P F , 的 一: 考 F[X]/(P) c + (P) E := F[X]/(P)∈c ∈ F E 域, F 的域; α := X + (P) ∈deg P. 作分的 L/F, E P(α) = 0, [E : F] =• P L 分一的,• L 作 F 的域 P 的.的 L/F P 的分域. P 的分域一 F-的一. F-? F 的域的 ϕ : L → L′ 图ϕL L′F , ϕ F-, 理 F-. 一一 {域, 中 I , 一性.Pi ∈ F[X]}i∈I的分2 对的, 的的域 L/F• L/F , L F 一的分域; • L/F 分, 对 α ∈ L P ∈ F[X] P(α) = 0 ,的 Galois , 应的 Galois Gal(L/F) P . Gal(L/F) := {F- L →中的的合.L} ,对 P ∈ F[X], Gal(L/F) P L 中的, 对 σ ∈ Gal(L/F) α ∈ L,P(α) = 0 ⇐⇒ P(σ(α)) = σ(P(α)) = 0. L P 的分域, 作用 Gal(L/F) {P 的的} 的. Galois 的:Galois ≈ 的对 Galois 的理. 定理 1.1 P ∈Gal(L/F) .F[X] , L, P(X) = 0 用.• 一方程. P(X) = X5 − 对 S3, .6X + 3 ∈ Q[X] 的 Galois Gal(L/F) • 一 n P(X) = Xn + a 0 的 (),n−1Xn−1 + · · · + a “一” 的 a 1 , 论的0, . . . , an−P ∈ k(a0, . . . , an− 0, . . . , an−1), 中 k 的域 F := k(a 1) n 理域. P F , Gal(L/F) ≃Sn. , 方程一的.2 Galois 对应的, 性的, Galois 理论的的 Galois 对应.定理 2.1 L/F Galois , [L : F] < ∞; G := Gal(L/F), {H ⊂ G : } ←→ {F ⊂ E ⊂ L : }H −→ LH := {α ∈ L : ∀σ ∈ G, σ(α) = α}Gal(L/E) ←−E., H ◁ G E/F Galois .注记 2.2 对 Galois L/F, E → Gal(L/E) 单. 理的一 G = Gal(L/F) 的拓扑, Krull 拓扑; [L : F] Krull 拓扑 拓扑. 一的 Galois 对应{H ⊂ G : } ←→ {F ⊂ E ⊂ L : 中域}HH −→ LGal(L/E) ←−E.3一的 Gal(L/E) 作, 的Gal(L/E) = lim Gal(K/E)←−K/E:Galois[K:E]<∞理. 用范畴论的常, 论淡中范畴 Galois 的.3 应用: 作图问题Galois 理论的一应用的作图问题. 作图的: , 单 1. , 作一作 (x, y); 的 作应的 z := x + yi ∈ C. 作作单的.理论一, 作图问题中 “” “” 的用. 方的:1. 一 α 用作一域Q = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn ⊂ C [Fi : Fi−1] ≤ 2, α ∈ Fn. 言, 的作图方程.2. n 用作的分n = 2ap1 · · · pr, 0 p1, . . . , pr 的 Fermat . 一 p Fermat 中 a, r ∈ Z≥ p = 22k + 1 的., 17 作, 9 作. 作, 分 2π3 ; 一, 分类方程 (: 用 sin cos 的) . 学作图题, 中一的, 一缘对作图的. 学, 学中的, 学的. 学: 对的, 的, 分 作. 作图的. 文的. 一中的作图方, 学的的作 (文: Origami = ) . 对的作, 应 的, 作的, 论 [1, §10.3]. , 一 α 作.定理 3.1 α ∈ C , Q = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn ⊂ C [Fi : Fi− α ∈ F1] ≤ 3, n.分的论, .推论 3.2 .4分一单的作, 回用方程, 1980 的, 参 [1, p.284]. 一. θ; 一性 0 < θ < π2 . 一的 (图) 作: θ 图的线 PS .1. 作线 P′R′, P′′R′′, PR , 线 P′P′′ 与 P′′P . 一用: 对.2. , 线 P′P 方线 Q′Q, Q′ 线 PS Q P′′R′′ .3. 言 ψ := ∠QPR 的3 .θSQ′P′ R′QP′′ R′′θ ψP R证明 , P′Q′QP 对 “” (线 P′Q′, PQ 中的线) 对的, θ − ψ = ∠Q′PQ = ∠P′QP. △P′QP , ∠P′QP′′ = ∠P′′QP. 线性 ∠P′′QP = ψ. θ − ψ = ∠P′QP = 2 · ∠P′′QP = 2ψ. 3ψ = θ, . Galois 理论的问题. Galois 问题: 对 G Galois L/Q, Gal(L/Q) ≃ G? 的参 [7].4 拓扑学中的类比拓扑学中的理论, 的 ( [9, ]). 理论, 一类 “合理的” 拓扑. 作, 的拓扑.5 定义 4.1 q : X′ → U I X , : X X = ∪U,q−1(U) ⊔U ∼i∈Iq U, q U I . q : X′ → X 性: 对x ∈ X y ∈ Y 的 γ : [0, 1] → X x′ ∈ q−1(x), 一的 γ′ : [0, 1] → X′ q ◦ γ′ = γ γ′(0) = x′. 合q−1(x) x 的. 考的 q : X′ → X 的 X 的. 拓扑学中的一. 定理 4.2 X x ∈ X, p : X˜ →: 定 x˜ ∈X ( X ) , p−1(x), : q : Y → X y ∈ q− Y 1(x), φ : X˜ →˜φX Yp qX., (X˜, x˜) : (X˜, x˜), (X˜′, x˜′), φ : X˜′ →X˜ φ : x˜′ → x˜.理中的性范畴论中 “性” 的, 一性的论 (: 分 q ˜ X′ → X, 用应的˜φ ) .X → X 对 q : Y → X q′ : Y ′ → X, 的图的φ:φY Y ′q q′X, HomX(Y, Y ′). q = q′ , 考的 φ AutX(Y ); AutX(Y )op.定义 4.3 X . x ∈X, 定 (X˜, x˜) . X x 定义π1(X, x) := AutX(X˜)op.用, 一作: 对 q : Y →X, q−1(x) X(X˜, Y )←1:→1 Hom φ(x˜) ←− φ, π1(X, x) q−1(x) 的 “” 作用, AutX(X˜) 的的!6 注记 4.4 一拓扑用的合 π1(X, x), 的., 文一.的一论.命题 4.5 AutX(X˜)1:1   φY pq1−1(x) 1 q1−1(x) Y1 Y ( 1(x))  φY : q−1(x)1→:1 q−: q1 q ⇒      −→q YX: X q−1(x) q−1(x) φY q1−1(x) ↠ q−1(x) p : Y1 ↠ Y . 证明 , 对的 q : Y → X, φ ∈ AutX(X˜) HomX(X˜, Y ) 的, q−1(x) 的 φY . q : Y →X φY 的. , 一φY , 理 φ ˜ X(X˜, X˜) → Hom X(X˜) id ˜X 一 Hom X(X˜, X˜); 应的 φ ∈ Hom X 的.的 φ ↔ (φY )Y 的., 的范畴论的理的. 用的范畴语言, 题: π1(X, x)op “ [Y−→ X] → q−q1(x)的”.5 范畴语言范畴论的, 范畴论学中的, 参 [12, 14 ].文中, 一范畴 C : • 对的类;• 对对 X, Y , 的一合, 作 Hom(X, Y ) = HomC(X, Y ), 中的 f : X → Y .:• 对的 X − →f Y , Y −→g Z, 作合 X −g−◦−f−=−g→fZ. 的合合.• 对对 X idX : X → X, 性: 对 id X = g.f : Y → X g : X 。