晶块尺寸和点阵畸变度的测定.ppt

晶块尺寸与点阵畸变度的测定晶块尺寸与点阵畸变度的测定材料科学与工程学院艾　延　龄E-mail: ylai@主要内容主要内容1.衍射线的宽化效应2.K线分离3.实测衍射峰与物理宽化效应的关系4.晶格畸变量和晶块尺寸的测定246.746.846.947.047.147.247.347.447.547.647.747.847.92  (deg.)Intensity (a.u.)46.746.846.947.047.147.247.347.447.547.647.747.847.92 (deg.)Intensity (a.u.)半高半高宽 积分分宽度度3引起线型宽化的可能原因•X射线并非严格平行；•X射线并非严格单色；•衍射衍使用的是平板样品，而不是严格满足聚焦圆曲率的样品；•其他衍器因素带来的线型宽化；几何宽化•晶粒尺度并非无穷大引起的宽化；•晶格畸变引起的宽化物理宽化4X射线衍射峰是由几何宽化和物理宽化组成，其中几何宽化的因素很多，也非常复杂实际测量时，总是通过测量没有任何物理宽化因素的标准样品，在与待测样品完全相同的实验条件下，测得标样的衍射线形，并以它的宽度定为仪器宽度。

物理宽化是不是简单扣除几何宽化以后的衍射峰宽度呢？回答是否定的，几何宽化和物理宽化在数学上满足函数的卷积关系，要从实验得到的衍射峰中分离出物理宽化的值，并不是一件容易的事情5•谢乐方程：谢乐方程：•公公式式的的推推导导方方法法不不同同，，式式中中k=0.89或或0.94，，但但实实际际应应用中一般取用中一般取k=1；；•β是是指指因因为为晶晶粒粒细细化化导导致致的的衍衍射射峰峰加加宽宽部部分分，，单单位位为为弧弧度度 晶粒细化引起的宽化6晶格畸变引起的宽化晶面间距是倒易矢量的倒数，晶面间距变化Δd，必然导致倒易矢量产生相应的波动范围，倒易球成为具有一定厚度的面壳层，当反射球与倒易球相交时，得到宽化的衍射线.26.5 27.0 27.5 28.0 28.5 29.0 29.5 30.02  (deg.)Intensity (a.u.)7晶格畸变引起的宽化•晶块尺度范围内的内应力引起的晶格畸变，将会导致不同晶粒的晶面间距发生改变，这种改变将是随机的，在统计规律下，晶面间距可以表示为d±Δd，最终导致衍射角的相应变化为2（θ±Δθ）•衍射线的半高宽：•对布拉格方程微分后可以得出Δθ与晶面间距变化率之间的关系，并最终得到：8主要内容主要内容1.衍射线的宽化效应2.K线分离3.实测衍射峰与物理宽化效应的关系4.晶格畸变量和晶块尺寸的测定9 I(2) = I1(2)+I2(2) 假定K1与K2衍射线强度按波长的分布近似相同，强度比为K：K=I1(2)/I2(2-2)I(2) = I1(2)+I2(2)= I1(2)+I1(2-2)/K或 I1(2)= I(2) - I1(2-2)/K K衍射由K1、K2衍射叠加而成，底宽为V。

若双线分离度为2，当K1与K2衍射线峰形对称、底宽相同时，K1与K2衍射峰同侧边界相距也为2 实测线形I(2)是K1和 K2所形成的线形I1(2)和I2(2)的叠合：K1、K2线的存在对X光衍射线线形的影响10 Rachinger法法 K衍射峰底宽为V，可将等分后从数学方法进行K的双线分离为了使2能被等分，可先将2划分为M等分，单元宽度w=2/M，再以w为单元宽度将V划分为N等分，N=V/w用n表示单元序号，I(n)、I1(n)、I2(n) 分别表示各分割单元的对应强度按I1(2)= I(2) - I1(2-2)/K，有nM时： I1(n)= I(n)；I2(n)=0M

同理， I1(2)的线形也可以写成：12 付里叶级数变换分离法付里叶级数变换分离法 K衍射峰线性的表达式I(2)可用三角多项式来表达（即展开为付里叶级数）设2N为I(2)有值区间角度等分数，A0、An和Bn都是函数I(2)的付里叶系数，有：式中n=1，2，3……为阶数同理， I1(2)的线形也可以写成：1314一般K=2，解出：根据实测K的线形I()计算其付里叶系数A0、An和Bn，再利用上式计算K1的线形I1()的付里叶系数a0、an和bn，并计算出I1() 付里叶级数变换分离法计算工作量较大，但用计算机处理速度非常快这种分离方法不受人为因素的影响，它的独到之处是还能给出函数I1() 的付里叶系数15主要内容主要内容1.衍射线的宽化效应2.K线分离3.实测衍射峰与物理宽化效应的关系4.晶格畸变量和晶块尺寸的测定16•衍射峰的实际测量宽度称为实测宽度衍射峰的实际测量宽度称为实测宽度B；；•b是与仪器的实验条件相关的特性，称为仪器宽度；是与仪器的实验条件相关的特性，称为仪器宽度；β是与是与物理宽化对应的宽度；物理宽化对应的宽度；•β相对于仪器宽度相对于仪器宽度b的增量称为的增量称为“加宽加宽”；；•B,b,β三者之间不是简单的加和效应，而是一种复杂的卷三者之间不是简单的加和效应，而是一种复杂的卷积关系。

积关系17分别用下列函数g(y)、f(z)、h(x) 表示仪器宽化、物理宽化及试样实测曲线的线形函数： 由仪器宽化因素造成的强度分布曲线（工具曲线）记为：Ig(x)= Ig(m)g(y) Ig(m)为g(y)曲线的最大强度值； 由物理宽化因素造成的强度分布曲线（本质曲线）记为：If(z)= If(m)f(z) If(m)为f(z)曲线的最大强度值； 直接由被测试样测得的谱线称为仪测曲线，记为：Ih(x)= Ih(m)h(x) If(m)为f(z)曲线的最大强度值 将谱线的积积分分强强度度定义为谱线曲线下面的总面积；谱线的积积分分宽宽度度定义为谱线的积分强度除以线形的峰值则仪器宽化曲线（工具曲线）的积分宽度b、、物理宽化曲线（本质曲线）的积分宽度 、、仪测曲线的积分宽度B分别表示为：1819 对仪器宽化线形函数g(y)的某一点y处，在y区域的强度值由Ig(y)y表示，由图中实心矩形表示假定线形宽化时积分强度不变，由于物理因素引起宽化作用使此矩形变成等面积的f(z)线形，但峰位在仍在y处。

或者说矩形被改造为曲线f(z)，即图中阴影部分 显然，在x处f(z)的强度为：If(m)f(z)=If(m)f(x-y)这也是实心矩形Ig(y)y在x处对真实线形h(x)的贡献按积分宽度的定义，阴影部分面积[即f(z)函数积分]应等于f(z)的峰值If(m)与其积分宽度的乘积，故有：   If(m)= Ig(y)  y= Ig(m) g(y)  y函数卷积的物理意义20仪测曲线上X处的衍射强度并非仅由工具曲线的某一个强度单元Ig(y)y被物理宽化扩展在此作出的贡献，而是整个工具曲线上各强度单元扩展后在此处所作贡献的叠加：2122仪器宽化效应的分离（由仪器宽化效应的分离（由B值求值求 值）值） 付立叶变换法付立叶变换法 求解实测线形h(x)与仪器宽化函数g(x)、物理宽化函数f(x)的卷积方程，从中分离掉仪器宽化函数g(x)并得出物理宽化函数f(x)的表达式是很困难的因此Stokes A. R. 提出了由被测试样衍射线形h(x)和标样（没有物理宽化）的衍射线形g(x)求物理宽化函数f(x)的付立叶变换法 若实测线形h(x)、标样线形记为g(x)和本质线形f(x)的有值区间为-a/2~a/2，将三个函数展开为付立叶级数：232425利用付立叶变换获得物理加宽效应的实验测量和计算程序：（1）对试样和标样进行衍射仪扫描测量获得相应的衍射峰（2）将衍射峰的有值区间a分割成N等分并采集每个单元的对应强度Ih(xi)和Ig(xi)（3）用最大强度Ih(m)和Ig(m)去除Ih(x)和Ig(x)便得到线性函数h(x)和g(x)（4）计算Hr(xi)、Hi(xi)、Gr(xi)、Gi(xi)，再计算Fr(xi)、Fi(xi)后计算f(xi)（5） 根据f(xi)结果绘制f(x)峰形。

26主要内容主要内容1.衍射线的宽化效应2.K线分离3.实测衍射峰与物理宽化效应的关系4.晶格畸变量和晶块尺寸的测定27从实测衍射峰中求出物理宽化从实测衍射峰中求出物理宽化β值，在数学上是一个解卷积的过程我值，在数学上是一个解卷积的过程我们可以用傅立叶变换的方法直接求解出与物理宽化有关的函数表达式，们可以用傅立叶变换的方法直接求解出与物理宽化有关的函数表达式，再通过该函数表达式在某衍射峰附近的积分强度及该函数的最大值，就再通过该函数表达式在某衍射峰附近的积分强度及该函数的最大值，就可以求出与物理宽化有关可以求出与物理宽化有关β值也可以通过近似函数法来求解，一般我们认为仪器宽化也可以通过近似函数法来求解，一般我们认为仪器宽化b与物理宽化与物理宽化β相关的函数与柯西函数或者高斯函数近似，将这两个函数代入前面的相关的函数与柯西函数或者高斯函数近似，将这两个函数代入前面的Jones关系式，就可以求出实测宽度、仪器宽度与物理宽度之间的关系关系式，就可以求出实测宽度、仪器宽度与物理宽度之间的关系实际应用时这种方法用得最多实际应用时这种方法用得最多28•近似函数法f(x)和和g(x)的的选择–f(x)和和g(x)可可选用以下三种函数的任意用以下三种函数的任意组合，不同合，不同组合合计算得算得到的到的B、、β和和b之之间存在不同的关系存在不同的关系 表表1 可可选峰形函数及峰形函数及B、、β和和b的关系的关系29•纳米材料（晶粒小于纳米材料（晶粒小于100nm）的制备是当前的重要研究课题；）的制备是当前的重要研究课题；•一般认为纳米粉体中不含有其它因素引起的衍射峰加宽；一般认为纳米粉体中不含有其它因素引起的衍射峰加宽；•物理宽度物理宽度β的计算公式：的计算公式：•n取取1-2之间的数，用柯西函数时，之间的数，用柯西函数时，n=1，用高斯函数时，用高斯函数时,n=2 。

其它函数其它函数及其组合，则及其组合，则1

即晶粒在（即晶粒在（220）面上有）面上有133个单胞大小个单胞大小34n晶格畸变与晶粒细化同时存在的情况晶格畸变与晶粒细化同时存在的情况1.材料加工的一般情况：材料加工的一般情况：•材料在加工过程中会产生晶块尺度范围内的晶格畸材料在加工过程中会产生晶块尺度范围内的晶格畸变，同时也可能由于加工造成晶块破碎，即晶块细变，同时也可能由于加工造成晶块破碎，即晶块细化化;•因此，在研究材料加工对衍射线形影响的时候，必因此，在研究材料加工对衍射线形影响的时候，必须同时考虑两种因素的同时存在须同时考虑两种因素的同时存在;•当两种衍射线加宽因素都存在时，其作用效果也是当两种衍射线加宽因素都存在时，其作用效果也是卷积关系卷积关系.352.近似函数近似函数f(x)和和g(x)的的选择依据依据§实测线形与形与计算算线形作比形作比较v利用利用f(x)和和g(x)函数，函数，计算理算理论线形，将理形，将理论线形与形与实测线形相比形相比较，，选择线形相近的函数；形相近的函数；v应用用电子子计算机算机计算算选择近似函数，近似函数，现代代X射射线衍射衍射仪的的软件系件系统中都中都带有峰分离有峰分离拟合合软件363.亚晶粒细化宽度（m）与点阵畸变宽度(n)的分离§这两种两种宽化与物理化与物理宽化之化之间同同样满足卷足卷积关系，因此关系，因此计算公式同算公式同仪器器宽度与物理度与物理宽度。

度§M(x):晶粒晶粒细化化线形函数形函数§N(x)：：晶格畸晶格畸变线形函数形函数374. M(x)和 N(x)函数的选择 选择不同的选择不同的M(x)和和N(x)组合，得到不同的组合，得到不同的β 、、m、、n关系式 表表2 可选可选M(x),N(x)函数及函数及β和和m,n的关系的关系38M(x)和 N(x)函数的选择依据§数据数据拟合：由合：由计算机算机软件件计算并算并绘制出制出M(x)和和N(x)的的拟合曲合曲线，与，与实测谱线对比，找出最佳比，找出最佳组合合§经验使用使用v 钢材冷加工多材冷加工多选用用组合合1v 高碳高碳钢淬火一般使用淬火一般使用组合合2395.晶粒尺寸（晶粒尺寸（D））和晶格畸和晶格畸变（（ε））与与线形形宽化的关系化的关系K=1K=1；；0.940.94；；0.89.0.89.D:D:晶粒尺寸，　单位：晶粒尺寸，　单位：nmnmλ:λ:衍射线波长，单位：衍射线波长，单位：nmnmεε：：晶格畸变（晶格畸变（Δd/dΔd/d））θθ：衍射角：衍射角406. 峰分离步骤：1)测量出衍射峰，分离出量出衍射峰，分离出Kα1和和Kα2；；2)从从Kα1 峰中量出峰峰中量出峰宽B；；3)从从B中分离出中分离出仪器器宽度度b和加和加宽β ；；4)从从β中分离出中分离出m,n；；5)按公式按公式计算晶粒尺寸算晶粒尺寸D和微和微应变ε。

41霍尔曾假定霍尔曾假定, ,晶块细化和晶格畸变两种效应所造成的强度晶块细化和晶格畸变两种效应所造成的强度分布都接近柯西分布分布都接近柯西分布n 三种解卷积的近似函数法1.柯西分布法可以解得：可以解得：42作图作图直线的斜率为直线的斜率为4e, 4e, 截距为截距为1/D1/D43令令有有得得用平方数作图，直线的斜率为用平方数作图，直线的斜率为16e16e2 2, , 截距为截距为1/D1/D2 22. 高斯分布法44, 令有3. 雷萨克法(解析法)45, 可得可得•为求解为求解m, nm, n必须得到两个必须得到两个b b；；•在在同同一一试试验验条条件件下下, ,对对同同一一试试样样测测量量高高角角和和低低角角两两条条谱谱线线, ,为为减减少少分分析析误误差差, ,两两条条谱谱线线之之间间的的角角距距离离越越大大越越好好, ,当然也要兼顾谱线衍射强度的可测性当然也要兼顾谱线衍射强度的可测性46解方程组可得到解方程组可得到, m1,m2,n1,n2的唯一解；的唯一解；考虑分析精度考虑分析精度,只须求出只须求出m1, n2；；晶粒尺寸晶粒尺寸D和晶格畸变和晶格畸变ε的计算公式：的计算公式：471) 作仪器宽度曲线 测量一个标准样品的衍射谱，就能拟合出一条仪器宽度随衍射角测量一个标准样品的衍射谱，就能拟合出一条仪器宽度随衍射角变化的曲线，从而可以了解任意衍射角的仪器宽度变化的曲线，从而可以了解任意衍射角的仪器宽度b标准样品的谱线仪器宽度曲线n 实验操作步骤（柯西法实验操作步骤（柯西法,高斯法）高斯法）482 ) 测量样品的衍射谱，并作曲线拟合493) 观察拟合报告，即可看到“晶粒大小”晶粒尺寸504) 单击Size-Strain Plot按钮，测出平均晶粒大小和微应变(高斯函数n=2)平均晶粒尺寸D微应变ε 514) 单击Size-Strain Plot按钮，测出平均晶粒大小和微应变(柯西函数n=1)平均晶粒尺寸D微应变ε 52§当当β2/β1=cosθ1/cosθ2时，表明，表明谱线宽化主要是化主要是亚晶粒晶粒细化化的效的效应，点，点阵畸畸变的影响很小，此的影响很小，此时，，图中的数据点分布中的数据点分布在一条水平在一条水平线上上§当当β2/β1=tanθ2/tanθ1时，表明，表明谱线宽化主要是点化主要是点阵畸畸变的的效效应，，亚晶粒晶粒细化的影响很小。

此化的影响很小此时，数据点在一条斜，数据点在一条斜线上，而且上，而且过原点（截距原点（截距为0，，D=∞））§一般情况一般情况为同同时有微有微观应变和晶粒和晶粒细化存在，截距化存在，截距为正正值（如果截距（如果截距为负值，数据，数据测量有量有错误））5) 5) 三种情况的判断三种情况的判断53•实验中要减小几何宽化实验中要减小几何宽化, ,以降低以降低b b 的相对误差为此的相对误差为此要求测角仪状态好，尽量提高功率，用小狭缝得到要求测角仪状态好，尽量提高功率，用小狭缝得到小的几何宽化小的几何宽化b b•用半高宽法着重考虑较大晶粒的贡献，忽略细小晶用半高宽法着重考虑较大晶粒的贡献，忽略细小晶粒的贡献；而劳厄积分宽度则大小晶粒的效应都考粒的贡献；而劳厄积分宽度则大小晶粒的效应都考虑了虑了•近似函数法只有在保证近似函数法只有在保证B/b>3B/b>3时才能得到好的结果时才能得到好的结果•为了尽量增加为了尽量增加B/bB/b值值, , 标样处理是个关键标样处理是个关键•X X射线小角度散射强度及分布与试样中的粒子的形状，射线小角度散射强度及分布与试样中的粒子的形状，大小紧密相关大小紧密相关。

关于解卷积n 几个注意事项54•Jade按下列公式进行计算 •d d称为反卷积参数，可以定义为称为反卷积参数，可以定义为1-21-2之间的值之间的值•峰形接近于高斯函数，设为峰形接近于高斯函数，设为2 2•接近于柯西函数，则取接近于柯西函数，则取d=1d=1•d d的取值大小影响实验结果大小和误差的取值大小影响实验结果大小和误差55•采采用用谢谢乐乐公公式式计计算算晶晶粒粒大大小小实实际际上上是是将将衍衍射射学学中中的的“嵌嵌镶镶块块”的的概概念念换换成成了了“晶晶粒粒”，，这这是是假假定定没没有有亚亚晶晶存在的情况下使用的存在的情况下使用的; ;•谢谢乐乐公公式式中中的的系系数数k k值值是是一一个个接接近近于于1 1但但不不等等于于1 1的的数数，，ββ的的计计算算精精确确度度也也依依赖赖于于峰峰形形函函数数的的选选择择因因此此，，计计算算结结果果不不是是一一个个绝绝对对准准确确的的数数值值，，而而只只能能作作为为相相对对值值的参考的参考; ;•不不同同衍衍射射面面的的计计算算值值是是不不相相同同的的，，可可以以通通过过多多个个晶晶面面的的衍衍射射谱谱宽宽度度来来计计算算晶晶粒粒大大小小，，然然后后再再作作平平均均，，称称为为“平均晶粒大小平均晶粒大小”; ;•谢乐公式只适用于晶粒尺寸小于谢乐公式只适用于晶粒尺寸小于100nm100nm的晶粒细化的晶粒细化; ;•亚晶粒尺寸与通常意义上的粉末粒度具有本质的区别亚晶粒尺寸与通常意义上的粉末粒度具有本质的区别. .关于晶粒尺寸56谢乐方程 •计算晶块尺寸时，一般采用低角度的衍射线计算晶块尺寸时，一般采用低角度的衍射线; ;•如果晶块尺寸较大，可用较高衍射角的衍射线如果晶块尺寸较大，可用较高衍射角的衍射线; ;•晶粒尺寸在晶粒尺寸在30nm30nm左右时，计算结果较为准确左右时，计算结果较为准确; ;•此式适用范围为此式适用范围为 <100nm;<100nm;•只存在晶粒细化的样品，衍射峰宽化与衍射角的只存在晶粒细化的样品，衍射峰宽化与衍射角的余弦成反比余弦成反比. .关于谢乐方程57微应变 •宜用高角度衍射线宜用高角度衍射线; ;•只存在微应变的样品衍射峰宽化与衍射只存在微应变的样品衍射峰宽化与衍射角正弦成正比角正弦成正比. .关于微应变58这个表中的数据有可能是不正确的，根据数据点的排列情况作出正确选择关于三种选择59感谢姜锋和黄继武老师提供的课件！感谢姜锋和黄继武老师提供的课件！谢谢！谢谢！60。