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数学归纳法在中学数学不等式证明中应用【摘要】本文给出运用数学归纳法解题时经常出现的错 误及其运用数学归纳法解题时的注意事项关键词】数学归纳法；表现形式；解题技巧；常见错 误数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一，中 学数学中的一些概念、公式、定理及很多命题，通过数学归 纳法导出和证明更符合学生的认知特点，也符合人们从特殊 到一般的认知规律但是，数学归纳法应用于证明不等式， 应该怎样去用，在运用过程中应注意哪些问题，这一直困扰 着我们中学生事实上，数学归纳法只能证明与自然数有关的数学命 题，且该命题中所讨论的对象必须属于Cantor集（通常意 义上的集合），而Cantor集具备三条基本特征一确定性、互 异性、无序性在适用范围内，数学归纳法的实质就是将一 个无穷验证或很难穷尽验证的命题转化为证明两个普通命 题：① 当时，命题成立② 假设当时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立从而达到证明的目的数学归纳法的两个步骤看似呆板，但却有多种表现形 式，我们对此做一个简要的阐述1、 第一数学归纳法表现形式：①验证n取第一个值nO时命题成立②由假设当n二k时命题成立，证明对于n=k+l时命题也 成立。

则命题对任意的n2n0命题成立2、 第二数学归纳法表现形式为：①验证n取第一个值nO时命题成立②由假设nWk时结论成立，证明对于n二k+1时命题也成立则命题对任意的n三nO命题成立3、第三数学归纳法表现形式如下：设P （m、n）是与两个独立的自然数m 和n有关的命题，若（Dp （1、1）成立；②对任意的自然数k、1,假设P （k、1）成立，可以推 出 p （k+1、1）和 p （k. 1+1）都成立；则对任意自然数m、n, P （m、n）均成立给出了以上三种在数学证明中常用的数学归纳法的解题思路及步骤，现在我们来讨论一下运用数学归纳法在不等 式证明中的解题技巧1）适当放缩要由"假设不等式”成立推到“目标不等式”成立，宜 尽早使用“假设不等式”，再利用辅助条件，通过合理的放 缩，逐步向“目标不等式”逼近例、（1990年全国竞赛题）设且，求证：对于任何，有 成立证明：1、当n=l时，原不等式显然成立2、设n二k时，原不等式成立，即则当n=k+l时，二（关键）由可得，即n=k+l时，原不等式成立由1、2可知对任何原不等式成立注：此题的关键一步运用了适当放缩使问题较为简单的 解决由此可以看出，放缩法在用数学归纳法证明不等式 时的重要性。

2）增设引理，铺桥架路当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难 时，可以将问题归纳到某个中间联系环节（辅助命题或引理） 来处理，而这个中间联系环节只起到桥梁的作用例、设a、b为正实数，n为正整数，试证明：分析：1、当n=l时，不等式显然成立，当n=2时，易 证不等式成立2、假设当n=k时，结论成立当n=k+l时，左边=要使上式不大于，中间还有一段距离，经分析如能证明 辅助命题，则问题可以迅速解决，而这个辅助命题用比较法 容易证明，故可证3) 分类讨论，柳暗花明当由“假设不等式”向“目标不等式”过渡时，将要证 明的一个命题分成几个命题，然后用数学归纳法讨论例、(1986年高考题)已知，且，试证：数列｛｝或者对任意都满足或都对任意都满足分析：由于且，又由题意可知，对任意，有，故与同号, 于是应分与两种情况讨论证明：1、若，用数学归纳法证明(1) 当n=l时，成立2) 假设当n=k时,成立，则当n=k+l时，，即当n=k+l 时，有•••对任意，有2、若，同样可证，对任意，，此时有综合1、2,原命题得证4) 加强命题，以屈求伸当“假设不等式”很难直接过渡到“目标不等式”，则 可以通过加强命题的方法加强结论，达到调整结构，以屈求 伸之功效。

例、设0 分析：由题设知，，若设，则很难由递推公 式推出，因为这里出现在分母上，为了得到应知道小于某个 数值，而这一点恰恰无法从归纳假设中得到，为了解决这个 困难，我们来证明‘对一切，有”，这显然是一个比"”还 要强的命题证明：先证明对于任何恒成立1、当nT时，\*0 2、设n=k时结论成立，即成立,则n=k+l时，.• 31- o由1、2可知，对于任何恒成立，故恒成立参考文献：[1] 赵小云.数学归纳法原理.数学通讯.[2] 张黎明•数学归纳法的应用与技巧•青海师范大学民 族师范学院学报.[3] 王启东，袁海峰.数学归纳法的常用求解策略.中学 生理科应试.[4] 徐辉，唐淑红•例谈数学归纳法的集中表现形式•数理化解题研究.。