八年级同步第6讲：一元二次方程的概念及其解法(一)(1)(教案教学设计导学案).pdf

一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一 元二次方程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程 概念的理解， 难点是开平方法解一元二次方程通过这节课的学习一方面为我们 后期学习因式分解法， 配方法，公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为 后面学习函数奠定基础 1一元二次方程的概念 1.1整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程 1.2一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的的整式方程称作 一元二次方程 【例 1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程 （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） （为已知数） ； （7） 【难度】 【答案】（ 3）（ 7）是一元二次方程，其它都不是 【解析】（ 1）中两个未知数，是二元二次方程；（ 2）中对式子进行整理，两边项都消去 了，剩下，为一元一次方程；（4）是分式方程； （5）是无理方程； （6）中未明确 说明，不可判定为一元二次方程；（7）化简即为，是一元二次方程 【总结】考查一元二次方的判定，从定义出发， 有一个前提， 先将方程化成一般形式才可以 【例 2】 判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程 （1）（为有理数）； （2） 【难度】 【答案】（ 1）时，是一元二次方程；时，不是一元二次方程； （2）不是一元二次方程 【解析】（1）首先将方程整理成一般形式，即为：， 根据二次项系数是否为0 进行分类讨论，可知： ，即时，是一元二次方程；，即时， 不是一元二次方程； （2）时，显然不是一元二次方程；，即时，此时二次项系数 ，也不为一元二次方程；可知方程（2）不是一元二次方程 【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看 二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论 【例 3】 为何值时，关于的方程是一元二次方程 【难度】 【答案】 【解析】方程为一元二次方程，则有，同时，可得 【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为 0，注意相关隐含条件 【例 4】 当取何值时，方程是一元二次方程 【难度】 【答案】 【解析】方程为一元二次方程，则有，同时，可得 【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为 0，注意相关隐含条件 【例 5】 关于的方程 （1）当取何值时，方程为一元二次方程？ （2）当取何值时，方程为一元一次方程？ 【难度】 【答案】（ 1）时，原方程是一元二次方程； （2）时，原方程是一元一次方程 【解析】（1） ，即时，原方程是一元二次方程； （2） ，即时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有 ，可知，则，即时，原方程是一元一次方程 【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看 二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论 【例 6】 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围 【难度】 【答案】 【解析】对方程进行整理，即为：，方程为一元二次方程，则有，即， 由此确定的取值范 围为 【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时 二次项系数不能为0，注意相关隐含条件 1、一元二次方程一般式的概念 任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般 式其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项 【例 7】 把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数 （1）； （2）； （3）； （4） 【难度】 【答案】略 【解析】（1）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为6；一次项为，一次项系数 为；常数项为； （2）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为； 常 数项为 4； （3）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为； 常数 项为； （4）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为1；一次项为，一次项系数为； 常数 项为 【总结】 考查一元二次方程一般式的概念，一般尽量使二次项系数为正数，同时讨论相关项 和系数时要注意带上前面的符号 【例 8】 若一元二次方程的常数项为零，则的值为_ 【难度】 【答案】 【解析】常数项为0 ，即，可得，同时方程为一元二次方程，可知，由此得 【总结】考查一元二次方程常数项的相关概念，要注意题目的隐含条件 【例 9】 已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值 【难度】 【答案】 【解析】整理方程得，化为一般形式即为，方程的各项分别为， ， ， 其中未知项系数分别 为 1， ，依题意即有，解得： 【总结】 考查一元二次方程的一般形式中相关项的概念，注意先将方程整理成一般形式，使 二次项系数为正数，然后进行相关说明和计算 1、一元二次方程的概念 能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解只含有一个未知数 的方程，它的解又叫做方程的根 【例 10】判断 2、5、-4 是不是一元二次方程的根 【难度】 【答案】 2、是原方程的根，5 不是 【解析】（1）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原方程的根； （2）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原方程的根； （3）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原方程的根 【总结】 考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，检验过程注意相关格 式规范 【例 11】判断方程后面括号里的数是否为方程的根 （1） ；（2） 【难度】 【答案】（ 1），是原方程的根；（2）是原方程的根，不是原方程的根 【解析】（1）将代入原方程，左边，右边，左边右边， 所以是原方程的根；将代入原方 程，左边， 右边，左边右边，所以是原方程的根； （2）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原方程的根；将代入原方程， 左边， 右边，左边右边，所以不是原方程的根 【总结】考查方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，注意相关格式规范 【例 12】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值 【难度】 【答案】 【解析】将代入原方程，即得，解得，同时方程为一元二次方程，故，由此可得： 【总结】考查方程的根的定义， 即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立， 过程中注意隐含条件二次项系数不能为0 【例 13】已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值 【难度】 【答案】 0 【解析】由题意代入可得：，由此 【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的把握 【例 14】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值 【难度】 【答案】 13 【解析】将代入原方程，即得，解得，同时方程为一元二次方程，故，由此可得： ，原 式= 【总结】考查方程的根的定义， 即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立， 过程中注意隐含条件二次项系数不能为0 【例 15】若在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有 一个根是 【难度】 【答案】 1 【解析】依题意即有，可知方程必有一根为1 【总结】考查方程的根的应用，注意观察方程的相同之处和相关有特征的方程 【例 16】已知方程和有共同的解，求与的值 【难度】 【答案】， 【解析】方程有共同的解，依题意有，解得： 【总结】考查方程的根的应用，可转化为相关未知数的值的求解 1、直接开平方法 如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那 么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解 【例 17】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如方程两根即为 【例 18】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得： 即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如方程两根即为 【例 19】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如方程两根即为 【例 20】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：，得或，即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或 【例 21】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得，得或，即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或 【例 22】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得， 则或，即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或 【例 23】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即得，直接开平方法，得， 则或，即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或 【例 24】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】直接开平方法解方程，即得，则或，即方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或 【例 25】解关于的 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，得，即，直接开平方法解方程，即得，即得方程两根为， 【总结】 直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，本题实际上介绍后面要学习的配方 法解方程，可得或 【例 26】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】直接开平方法解方程，即得，得或，即得方程两根为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得或 【例 27】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得 ，得或，解得方程两根分为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得或 【例 28】解关于的方程： 【难度】 【答案】， 【解析】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得，得：或，解得方程两根分为， 【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得 【习题 1】下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程 （1） ；（ 2） ； （3） ；（ 4） ； （5） ；（6） 【难度】 【答案】（ 1）（ 3）（ 4）（ 6）是一元二次方程，（2）（ 5）不是一元二次方程 【解析】（1） （ 3） （4） （6）可根据一元二次方程的定义判定得是一元二次方程；（ 2）是分式 方程，故不是一元二次方程，（5）化作一般形式后即为，是一元一次方程， 也不是一元二次方程 【总结】考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方程， 同时二次项系数不能为0，注意一定要将方程化作最简形式以后再考虑是否为一元二次方程 【习题 2】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数 （1） ；（ 2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（ 6） 【难度】 【答案】略 【解析】（1）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为5；一次项为，一次项系数 为；常数项为3； （2）方程展开即为，整理为方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为3； 一次项为， 一次项系数为；常数项为； （3）方程展开即为，整理为方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为3； 一次项为， 一次项系数为；常数项为； （4）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为； 常 数项为 3； （5）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为1；一次项为，一次项系数为4； 常数项为； （6）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为1；一次项为，一次项系数为； 常数 项为 0 【总结】 考查一元二次方程一般式的概念，注意使二次项系数为正数，同时讨论相关项。