湖南省湘潭市湘乡壶天中学高三数学理月考试题含解析.docx

湖南省湘潭市湘乡壶天中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于  (          )   A．                          B．C．      D．                               参考答案：A2. cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（　　）A． B． C． D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简所求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40°=cos70°sin50°+cos20°sin40°=cos70°sin50°+sin70°cos50°=sin（50°+70°）=sin120°=．故选：D．3. 下列命题为真命题的个数是①；   ②；   ③；  ④A．1                B．2                C．3                D．4 参考答案：C构造函数求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数也可）4. 设集合，，则（   ）A．         B．       C．      D．参考答案：B5. 已知数列的通项公式为，设其前项和为，则使  成立的最小自然数等于           （  ）    A.83           B.82          C.81       D.80参考答案：C6. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为                                                     （    ）A． B．    C． D．参考答案：C7. 设某气象站天气预报准确率为 ，则在4次预报中恰有3次预报准确的概率是(A) 0.2876            (B) 0.0729             (C) 0.3124            (D) 0.2916 参考答案：D略8. 已知直线与抛物线交于两点，是的中点，是抛物线上的点，且使得取最小值，抛物线在点处的切线为，则A. B.   C.     D. 参考答案：D9. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（　　）A．96种 B．124种 C．130种 D．150种参考答案：D【考点】计数原理的应用．【分析】由题意知五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有C53A33，当按照1、2、2来分时注意其中包含一个平均分组的问题，不要出错．【解答】解：∵五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有C53A33=60，当按照1、2、2来分时共有?A33═90，根据分类计数原理知共有60+90=150，故选D．10. 已知向量a，b满足，则向量b在向量a方向上的投影是    A．             B．-1               C．               D．1参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在面积为9的正方形内部随机取一点，则能使的面积大于的概率是               ；参考答案：12. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为，重心为G，若，则∠A=      .参考答案：略13. 设，直线圆.若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是   ▲   ． 参考答案：14. 函数的最小值为  ☆  ．参考答案：     15. 已知，则与的夹角为______________参考答案：略16. 在四边形ABCD中，，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=___________.参考答案：1解析法：以为轴，的中点为坐标原点建立坐标系，利用解析法即可得。

作图法：可以看出的公共弦即的中位线17. 从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数和为5的概率是    ．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】概率与统计．【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数和为5的有2种情形，由概率公式可得．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数和为5的有（1，4），（2，3）共2种情形，∴所求概率为=故答案为：【点评】本题考查列举法表示基本事件及求概率，属基础题．三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线的极坐标方程为：，点，参数1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）求点到直线距离的最大值参考答案：解：(1) 且参数，所以点的轨迹方程为Ⅱ)因为，所以，所以，所以直线的直角坐标方程为由(Ⅰ) 点的轨迹方程为，圆心为，半径为2所以点到直线距离的最大值。

19. （本小题满分分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家鼓励消费者购买新能源汽车某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率1030合计（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从这辆纯电动乘用车中抽取一个容量为6的样本，从该样本中任选辆，求选到的辆车续驶里程为的概率参考答案：（Ⅰ） 由表格可知，所以，，，.                                          ………4分（Ⅱ）设“从这6辆纯电动车中任选辆，选到的辆车续驶里程为”为事件，由分层抽样得在中抽1辆，记为A ，在中抽3辆，记为B1，B2，B3 ，在中抽2辆，记为C1，C2 ，    ……6分则任取两辆共有15种取法(A, B1)(A, B2)(A, B3) (A, C1)(A, C2) (B1, B2)( B1, B3) ( B2, B3) (B1, C1)( B1, C2) ( B2, C1) ( B2, C2) (B3, C1) (B3 , C2) (C1 , C2)   事件有3种情况则.                         ……12分20. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2005年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2005年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完．⑴将2005年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；⑵该企业2005年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)参考答案：解：(Ⅰ)(t≥0) (Ⅱ)∵≤50－＝42万件 当且仅当即t＝7时，ymax＝42∴当促销费定在7万元时，利润增大．略21. 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.参考答案：本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。

满分15分Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．22. 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．设S为△ABC的面积，满足S=（a2+c2﹣b2）．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求（﹣1）a+2c的最大值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tanB的值，即可求出B，（Ⅱ）先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出最大值【解答】解：（Ⅰ）∵S=acsinB，cosB=即a2+c2﹣b2=2accosB，∴S=（a2+c2﹣b2）变形得： acsinB=×2accosB，整理得：tanB=，又0＜B＜π，∴B=，（Ⅱ）∵A+B+C=π，∴0＜A＜，由正弦定理知a===2sinA，c==2sin（﹣A），∴（﹣1）a+2c=2（﹣1）sinA+4sin（﹣A）=2sinA+2cosA=2sin（A+）≤2，当且仅当A=时取最大值，故（﹣1）a+2c的最大值为2．。