北师大版数学九年级下册小专题(九)　切线的性质与判定.doc

教育精选小专题(九)　切线的性质与判定1．(衡阳中考改编)如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：CE为⊙O的切线．2．(天津中考)已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小．3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.(1)求证：DC为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．4．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线．5．(天水中考)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．6．已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F，连接DF.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．7．(江西中考)如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与A、C重合)，过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D.(1)求证：DC＝DP；(2)若∠CAB＝30°，当F是的中点时，判断以A、O、C、F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．参考答案1．证明：连接OD.∵点C、D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝∠BOD.∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC.∵AD⊥EC，∴OC⊥EC.∴CE为⊙O的切线．2．连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠DAC.∵在⊙O中，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO.∴∠BAC＝∠DAC＝30°.3．(1)证明：连接OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.又∵∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.∴OC⊥CD.∴OC为⊙O的切线．(2)连接BC.由(1)知△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD·AB.又∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，AD＝4.∴AC＝2.4．(1)连接CD.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.(2)证明：连接OD.∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC.∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝90°，即DE⊥OD.∴ED是⊙O的切线．5．(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．理由：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE.∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切．(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.∴CD＝4.∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°.设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2.解得x＝6，即BE＝6.6．(1)证明：连接OE，则OB＝OE.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°.∴△OBE是等边三角形．∴∠OEB＝∠C＝60°.∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°.∴∠OEF＝∠EFC＝90°.∴EF是⊙O的切线．(2)∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF＝90°.设⊙O的半径为r，则BE＝r，EC＝4－r，AD＝4－2r.在Rt△ADF中，∵∠A＝60°，∴AF＝2AD＝8－4r.∴FC＝4－(8－4r)＝4r－4.在Rt△CEF中，∵∠C＝60°，∴EC＝2FC.∴4－r＝2(4r－4)，解得r＝.∴⊙O的半径是.7．(1)证明：连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∴∠OCD＝90°.∴∠DCA＝90°－∠OCA.又PE⊥AB，点D在EP的延长线上，∴∠DEA＝90°.∴∠DPC＝∠APE＝90°－∠OAC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠DCA＝∠DPC.∴DC＝DP.(2)四边形AOCF是菱形．理由：连接CF、AF、OF.∵F是的中点，∴＝.∴AF＝FC.∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°.又AB是⊙O的直径，∴∠AOC＝120°.∴∠AOF＝∠COF＝60°.∴△AOF、△COF是等边三角形．∴AF＝FC＝OC＝OA.∴四边形AOCF是菱形．.。