中考数学二轮复习专题练习下几何问题-四边形的旋转新人教版.docx

4.四边形的旋转1.正方形的顶点在直线上，点是对角线、的交点，过点作于点，过点作于点．（1）如图1，当、两点均在直线上方时，求：；（2）当正方形绕点顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段、、之间又有怎样的数量关系？ 解析：（1）证明：如图1，过点作于则四边形是矩形，∴，∵四边形是正方形，∴，∴∵，∴∴又∵，∴∴，，∴∴∴（2）图2结论：图3结论：对于图2证明：过点作交延长线于则四边形是矩形，∴，∵四边形是正方形，∴，∴∵，∴∴又∵，∴∴，，∴∴∴若选图3，其证明方法同上2.如图1，若四边形和都是正方形，显然图中有，．（1）当正方形绕旋转到如图2的位置时，是否成立？如果成立请说明理由，如果不成立，请说明理由.（2）当正方形绕旋转到如图3的位置时，延长交于，交于．①求证：；②当，时，求的长．解析：（1）成立．证明：∵四边形、四边形是正方形，∴，，．∴． ∴．∴． （2）①类似（1）可得，∴． 又∵，∴，即． ②连接，交于，连接，∵四边形是正方形，∴，∴，． ∵，，∴，∴以为底边的的高为，（延长画高）∴∴． 3.如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．（1）当正方形旋转至图2所示的位置时，求证：；（2）当点在直线上时，连接，求的度数；（3）如图3，如果，，，求点到的距离．解析：（1）∵正方形与正方形∴，，∴，∴∴（2）当点段上时，作于∵，∴，∴，∴∴，∴∴当点在的延长线上时，作于∵，∴，∴，∴∴，∴∴（3）连接、，∵∴点段上，∴∴，∴作于，则 在中，∴ 延长交于由，得∴∴ ，∴4.如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为．（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；（2）如图2，为中点，且，求证：；（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．解析：（1）∵，∴∴ ∴（2）∵为中点，∴∴∴又∵，∴∴（3）能．或.解：∵四边形为正方形，∴，∵∴与为等腰相等的两等腰三角形.当与为钝角三角形时，则旋转角.当与为锐角三角形时，，则旋转角，即旋转角的值为或时，与全等.5.如图1，△为等腰直角三角形，,是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形连接、. （1）①猜想图1中线段、的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论；②将图1中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形. 图2中交于点，交于点，请你判断①中得到的结论是否仍然成立. （2）将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，,正方形改为矩形，如图4，且，，，，交于点，交于点，连接、，求的值.解析：（1）①证明：∵ 为等腰直角三角形，，∴∵四边形为正方形.∴，∴∴延长交于点∵，∴∴② 仍然成立. 证明：∵是等腰直角三角形,∴∵四边形是正方形∴∴即∴∴ 又∵,∴,∴∴（2）证明：连接∵四边形是矩形 ∴又∵ ∴∴即∵,,,∴∴∴ 又∵,∴∴∴∴∴,,∴∵在Rt△中,,,∴∵在中,,,∴∴=6.如图①，在菱形和菱形中，，点、、在同一条直线上，是线段的中点，连结、．（1）求证：，； （2）将图①中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，其他条件不变（如图②），（1）中的结论是否还成立；如果成立，请说明理由，如果不成立请说明理由。

3）若图①中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，其他条件不变（如图③），判断与的位置关系和数量关系．解析：（1）证明：如图①，延长交于点∵，∴又，，∴∴，∵菱形，菱形，∴，∴，∴，即 ∵，，∴∴（2）证明：如图②，延长交于点，连结、∵，∴又，，∴∴，又，∴在和中∵，，∴，∴，∴ ∵，∴，又∴是等边三角形，∴∴（3）， 如图③，延长至，使，连结交于点，连结、则∴，∴∴又∴，又∴∴，∴ ，∴∴7.如图，四边形和四边形均为正方形，连接与相交于点．（1）试猜想的度数，并说明理由；（2）将正方形绕点逆时针旋转，设的面积为，的面积为，判断与的大小关系；并给予证明；（3）若，，设的面积为，将正方形绕点逆时针旋转一周，求的取值范围．解析：（1）猜想：，理由如下：∵，∴又，，∴ ∴又，∴∴ （2）当正方形绕点逆时针旋转时，和总保持相等证明如下：由于，因此分三种情况：①当时（如图1）过点作直线于点，过点作直线于点∵，∴又，∴，∴又，∴∴ ②当时（如图2）∵，，∴∴ ③当时（如图3）和①一样，同理可证综上所述，在（2）的条件下，总有 （3）正方形在绕点旋转的过程中，它的对称中心的轨迹是以点为圆心，为半径的圆（如图4）因为的边，故当点到的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值当在直线上时，取得最大值 当在直线上时， 取得最小值 故的取值范围是： 8.如图①，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点，分别在和上，连接，．（1）试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论．（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）若，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值．解析：（1）． 证明：∵，，，∴∴.（2）成立．如图②，连接．∵是等腰直角三角形，，点是的中点．∴，且．∵，．∴，∴．（3）由（2）知，，故当最大时，也最大．因为正方形在绕点旋转的过程中，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，故当正方形旋转到点位于的延长线上（即正方形绕点逆时针方向旋转）时，最大，如图③.若，则，．在中，．∴．即在正方形旋转过程中，当为最大值时，．9.如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系．（1）猜想图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将图1中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．解析：（1），；∵四边形和四边形是正方形，∴，，，∴，在和中， ，∴，∴；延长交于点，∵，∴，又，∴，∴，∴，即；（2），仍然成立，在图（2）中证明如下∵四边形、四边形都是正方形∴，，∴，∴∴，，又∵，∴∴∴．10.已知菱形是由绕点顺时针旋转得到的，这两个菱形的边长都是．（1） 如图1，连接，，求证：四边形为矩形；（2）如图2，连接，，，，分别是边，上的两个动点，且满足．判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当时，设的面积为，求的最小值．解析：（1）证明：如图1，∵菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的，∴，，，，∴，，．∴四边形是平行四边．∵，，∴，∴，∴．∴平行四边形是矩形；（2）是等边三角形．理由：证明：如图2∵菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的，∴，，，．∵，∴，∴为等边三角形，∴，∵．，∴，∴．在和中，，∴，∴，．∵，∴．∵，∴是等边三角形；（3）解：如图2，作于．∵是等边三角形，∴，∴．∴，∴．∴当最小时，最小．∵时，最小．∴．∵，∴．在中，由勾股定理，得．∴．答：的最小值为．11.如图1，四边形、为两个全等的矩形，且矩形的对角线交于点，点在上，．将矩形绕点顺时针旋转角，如图2，、与分别相交于、．（1）则：与的大小关系；（2）若，求旋转角的大小．解析：（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，由三角形的三边关系得，，∴；（2）解：∵，∴是直角三角形，，∵，∴，在中，，在中，，∴旋转角为．12.如图，已知正方形．（1）请用直尺和圆规，作出正方形绕点逆时针旋转后得到的正方形（其中，，分别是点，，的像）（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）设与相交于点，求证：；（3）若正方形的边长为，求两个正方形的重叠部分（四边形）的面积．解析：（1）如图所示：（2）连接．∵正方形由正方形旋转得到，∴，，∴，∴，∴． （3）连接．∵正方形，∴．由题意知，∴，即在上，∴是等腰直角三角形．设，则．∵，∴，解得：．故．。