专题_解析几何中的动点轨迹问题.docx

专题：解析几何中的动点轨迹问题学大分教研中心周坤轨迹方程的探解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一解答这类问题，需要善于揭示问题的部规律及知识之间的相互联系本专题分成四 个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次 从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了・・・）；然后，精选若干 练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中 的动点轨迹原题OK,不废话了，开始进入正题吧…Part 1几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1已知线段AB的长为5,并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P 在段AB上，AP = XPB(k> 0)，求点P的轨迹解：设P (x, y ), A (a,0), B(0, b ),x = " + %•0 [ a = (1 + 人)x| 0此L=虹Iy = E〔人代入 a 2 + b 2 = 25(1+人》x 2 +(1+^)2y 2 = 25 A 2*+备=1(1+A)2 (1+A)2①当人=1时，点P的轨迹是圆X2 + J 2 =三;4② 当人〉1时，点尸的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；③ 当05V1时，点尸的轨迹是焦点在*轴上的椭圆；例2已知定点A(3,1),动点B在圆O工2 +产=4上,点P段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.解：设P （x，y ），B（%，七），有AB = -3BP3 + （-3 ） x「i=ir（=3r 一 一\ i+（-3） y 一 一3 x — 323 y — 12yi = T;^3Xx1 = 化简即：1y1 =代入 x： + y/ = 4所以点P的轨迹为(x—1)2 + (y — 3、2 = 169二、两条动直线的交点问题例3已知两点P(-1,3)，Q(1,3)以及一条直线/: y = x，设长为点的线段AB在/上移动(点A在B的左下方)，求直线PA、QB交点M的轨迹的方程解：设M (x，y )，A。

t)，B (t +1，t +1)，PM = (x +1，y — 3)，PA = (t +1，t - 3)，QM = (x — 1, y — 3>^,QB =1 -1, t +1 - 3),・•・ PM II PA,QM 〃 QB,"7( x + 1)(t - 3 )=(t + 1)(y - 3) •••](xT 蛆 2)=t (y - 3 )'t =3x+y x - y + 45t = 2 x - 2[t = X^T!3 x + y _ 2 x - 2 x 一 y + 4 x 一 y + 2(3 x + y )(x - y + 2)=(x - y + 4 )(2 x - 2)y 2 - x 2 = 8例4已知*气是双曲线壬-壬= 1(> 0,b > 0)的两个顶点，线段MN为垂直于实轴 的弦，求直线MA^与NA?的交点P的轨迹解：设P (x, y), M (x , y ), N (x，-y ), A (-a,0), A (a,0), 1 1 111 2'k = k5 A1P A1Mk = k l A2P A2N二=' x+a x + a5 1y _ - y x 一 a x + ay y y^ 一 y 1x + a x 一 a x1 + a x^ 一 ay2 =- y：x 2 一 a 2 x 2 一 a 21x 2 y 2 一 卜=1a 2 b 2.y 2 _ x 2 1 _ x 2 一 a 2 b 2 a 2 a 2yi2 _bx 2 — a 2 a 2y 2 b 2/. _ x 2 一 a 2 a 2当a >b > 0时，是焦点在x轴上的椭圆,x +兰= 1（x莉）； a2 b2当a = b > 0时，是圆x2 + y2 = a2；当b > a > 0时，是焦点在y轴上的椭圆，己+ ^2 = 1（x更0）； a2 b2三、动圆圆心轨迹问题例5已知动圆M与定圆x2 +产=16相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹解：设M （x, y ），（y 更 0）当圆M与定圆内切时，x2 + y2 = 4-| y |，当圆M与定圆内切时,，x 2 + y2 = 4 +| y.•.J x2 + y 2 = 4 ±| yx 2 + y 2 = 16 ± 8| y\ + y 2±8 y = x 2 -16M的轨迹是两条抛物线（挖去它们的交点）y = 1 x 2 - 2 （y 丰 0 ）昉=-1 x 2 + 2 （y 丰 0）8 8例6 已知圆C :(x + 3)2 + y 2 = 4，C :(x - 3)2 + y 2 = 100，圆M与圆C和圆C都相切，1 2 1 2求动圆圆心M的轨迹 解：C1 (-3,0 ), C1(3,0 ),|气。

1| = 6,设动圆M的半径为r,⑴若圆M与q外切，与气内切，则||MCJ = 10—r|MC1|+\MC2\ = 12> RCJ,M的轨迹是以C「C为焦点的椭圆，2a = 12, a = 6,2c = 6, c = 3, b 2 = a 2 — c 2 = 27,椭圆的方程为苏+券=1 ⑵若圆M与气、气都内切，则J MC J = 10—rMC1 + IMC = 8> CC11M的轨迹是以C「C为焦点的椭圆 2a = 8, a = 4,2c = 6, c = 3, b 2 = a 2 — c 2 = 7,椭圆的方程为芸+y2=1四、动圆锥曲线中相关点的轨迹 例7已知双曲线过A(-3,0)和B(3,0)，它的一个焦点是F (0,-4)，求它的另一个焦点F1 2的轨迹解：设弓(x, y)，由双曲线定义||4气-叫||AF^ = J（-3 - 0》+（0 - 4》=5,吧=J（3 - 0 ）2 +（0 - 4 ）2 = 5,若|AF |-5 = \BF |-5, 2 2，.•.II af2 -5 =BF - 5 ,AF = BFF的轨迹是直线x = 0（y丰±4） 2若|AFJ-5 = -|BF | + 5, AF| + |BF | = 10> |AB| = 6,F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 2a = 10, a = 5,2 c = 6, c = 3, b = 4,椭圆方程为X- +1- = 1（y丰±4）F的轨迹是直线x = 0（y黄±4）或椭圆X +12 = 1（y。

±4）2 25 16例8已知圆的方程为X2 +产=4 ,动抛物线过点4（-1,0）和B（1,0）,且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程解：设焦点F （x, y），准线有圆相切于肱，作AA ± Z于A，BB ± Z于B，AF + |BF| = |AA11 + |BBj = 2 OM = 4，F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2a = 4,2c = |AB | = 2, a = 2, c = 1，b =专3，F轨迹的方程是X2 +夸=1（y莉）Part 2求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率 公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程过程是“建 系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明 显时例1已知动点M到定点A(1，0)与到定直线L： x=3的距离之和等于4,求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ YXT解设M (x,y)是轨迹上任意一点，作MN1L于：/-N由 |MA| + |MN|=4，得 h — 1)2 + y 2 +1 x — 31= 40A:当x建3时上式化简为y2=-12(x-4)当xM3时上式化简为y2=4x所以点M的轨迹方程为y2=-12(x-4) (3MxM4)和 y2=4x (0MxM3).其轨迹是两条抛物线弧。

例2已知直角坐标平面上点Q (2, 0)和圆C： X" y2 =1,动点M到圆C的切 线长与gM的比等于常数 )，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解：设M (x, y),直线MN切圆C于N,11VMO2 ―ON2MQ=人=人,\MN则有\MQ-X2 + y2 -1 =人•v(x - 2)2 + y 2 .整理得(元- 1)X2 + (X2 - 1)y 2 — 4人2X + (1 + 4X2)= 0 ,这就是动点M的轨迹方程.若人=1,方程化为^ =彳，它表示过点（4，0）和x轴垂直的一条直线;危―2如）2+ 2 = 1 + 3如 2人2若入正1,方程化为* 日 强*-（如t）2，它表示以（打,0）为圆心,<1 + 3 人2此―1为半径的圆.二、定义法圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可 直接写出其轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空题的形式出现.例3在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒, 已知声速是34米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？解 因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3X340=102。

米，若以A、B两点 所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸2 2点在双曲线上——H— = 1上.5102 7002 -5102例4若动圆与圆（x + 2）2 + y2 = 4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程 是 解设动圆圆M%M,由题意，动点M到定圆圆心（一2, 0）的距离等于它到定 直线x=4的距离，故所求轨迹是以（一2, 0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并 且p=6，顶点是（1, 0）,开口向左，所以方程是y2 =-12（x-1）例5 一动圆与两圆x2 + y2 =1和x2 + y2 -8x +12 = 0都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）抛物线 （B）圆（C）双曲线的一支 （D）椭圆解设动圆圆心为M,半径为r,则有MO = r + 1,|MC| = r + 2所以 |mc| - mo = 1动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的 双曲线的左支，选（C）.三、转移法（重中之重）若轨迹点P （x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q （x0, y0）,则可先列出关于x、y, x、y的方程组，利用x、y表示出x、y ,把x、y代入已知曲线方程便得动点 0 0 0 0 0 0— P的轨迹方程。

一般用于两个或两个以上动点的情况例6已知P是以F1、F为焦点的双曲线己-己=1上的动点，求AFFP的重心616 9 1 2的轨迹方程解设重心6 (x, y),点p * y°),因为 ％ （-5，F2 （5,0）则有—5 + 5 + xx = O3 ，0 + 0 + yV = 0-3故Ix0 = 3x代入、V 0 = 3 V2 x016得所求轨迹方程史—y162 = 1 (yw0)已知抛物线V2 = x +】，定点A （3, 1）, B为抛物线上任意一点，点P段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛。