全国自考线性代数经管类往年试题答案20.doc

欠缺的答案全国2012年1月自考《线性代数(经管类)》答案课程代码：04184全国2011年1月自考线性代数（经管类）参考答案三、计算题2010年10月全国自考线性代数（经管类）参考答案全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵，其中（）为A的列向量，若，则（ C ）．A． B． C．6 D．122．计算行列式（ A ）A． B． C．120 D．180．3．若A为3阶方阵且，则（ C ）A． B．2 C．4 D．8，．4．设都是3维向量，则必有（ B ）A．线性无关 B．线性相关C．可由线性表示 D．不可由线性表示5．若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则（ C ）A．2 B．3 C．4 D．5由，得4．6．设A、B为同阶方阵，且，则（ C ）A．A与B相似 B． C．A与B等价 D．A与B合同注：A与B有相同的等价标准形．7．设A为3阶方阵，其特征值分别为，则（ D ）A．0 B．2 C．3 D．24的特征值分别为，所以．8．若A、B相似，则下列说法错误的是（ B ）A．A与B等价 B．A与B合同 C． D．A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量与正交，则（ D ）A． B．0 C．2 D．4由内积，得4．10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为，则（ B ）A．A正定 B．A半正定 C．A负定 D．A半负定对应的规范型，是半正定的．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设，，则______________．．12．设A为3阶方阵，且，则______________．．13．三元方程的通解是______________．，通解是．14．设，则与反方向的单位向量是______________．．15．设A为5阶方阵，且，则线性空间的维数是______________．的维数等于基础解系所含向量的个数：．16．设A为3阶方阵，特征值分别为，则______________．．17．若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则______________．只有零解，所以可逆，从而．18．实对称矩阵所对应的二次型______________．．19．设3元非齐次线性方程组有解，，且，则的通解是______________．是的基础解系，的通解是．20．设，则的非零特征值是______________．由，可得，设的非零特征值是，则，．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式．解：连续3次按第2行展开，．22．设矩阵X满足方程，求X．解：记，，，则， ，，．23．求非齐次线性方程组的通解．解：，，通解为，都是任意常数．24．求向量组，，的秩和一个极大无关组．解：，向量组的秩为2，是一个极大无关组．25．已知的一个特征向量，求及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设是所对应的特征值，则，即，从而，可得，，；对于，解齐次方程组：，，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任意非零实数．26．设，试确定使．解：，时．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方程组的线性无关解．证：因为是的解，所以，是的解；设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关．全国2010年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式，则行列式（ A ）A． B．1 C．2 D．．2．设为同阶可逆方阵，则（ B ）A． B． C． D．3．设是4维列向量，矩阵．如果，则（ D ）A． B． C．4 D．32．4．设 是三维实向量，则（ C ）A．一定线性无关 B．一定可由线性表出C．一定线性相关 D．一定线性无关5．向量组，，的秩为（ C ）A．1 B．2 C．3 D．46．设是矩阵，，则方程组的基础解系中所含向量的个数是（ D ）A．1 B．2 C．3 D．4A．1 B．2 C．3 D．4．7．设是矩阵，已知只有零解，则以下结论正确的是（ A ）A． B．（其中是维实向量）必有唯一解C． D．存在基础解系若，即方程个数小于未知量个数，则必有非零解．8．设矩阵，则以下向量中是的特征向量的是（ A ）A． B． C． D．设是的特征向量，则，，，将各备选答案代入验证，可知是的特征向量．9．设矩阵的三个特征值分别为，则（ B ）A．4 B．5 C．6 D．7．10．三元二次型的矩阵为（ A ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式_________．．12．设，则_________．，．解法二：令，，则，，．13．设方阵满足，则_________．，，，，．14．实数向量空间的维数是_________．就是齐次方程组的解向量组，它的基础解系（即极大无关组）含有个向量，所以的维数是2．15．设是非齐次线性方程组的解．则_________．．16．设是实矩阵，若，则_________． 利用P.115例7的结论：．17．设线性方程组有无穷多个解，则_________．，方程组有无穷多个解，则．18．设阶矩阵有一个特征值3，则_________．0是的特征值，所以．19．设向量，，且与正交，则_________．由，即，得2．20．二次型的秩为_________．，秩为3．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算4阶行列式．解：（标准答案）．22．设，判断是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．解：，所以可逆，且（标准答案）．23．设向量，求．解：，由于，所以（标准答案）．24．设向量组，，，．（1）求该向量组的一个极大无关组；（2）将其余向量表示为该极大无关组的线性组合．解：（1），是一个极大线性无关组；（2）（标准答案）．25．求齐次线性方程组的基础解系及其通解．解：，，基础解系为，通解为．26．设矩阵，求可逆方阵，使为对角矩阵．解：，的特征值为，．对于，解齐次线性方程组：，，基础解系为，；对于，解齐次线性方程组：，，基础解系为．令，则是可逆方阵，使得．四、证明题（本大题6分）27．已知线性无关，证明：,,,线性无关．证：设，即 ，因为线性无关，必有，，只有，所以，，，线性无关．全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式第二行第一列元素的代数余子式（　B　　）A． B． C．1 D．2．2．设为2阶矩阵，若，则（　C　　）A． B．1 C． D．2，，，．3．设阶矩阵、、满足，则（　A　　）A． B． C． D．由，得．4．已知2阶矩阵的行列式，则（　A　　）A． B． C． D．因为，所以，．5．向量组（）的秩不为零的充分必要条件是（　B　　）A．中没有线性相关的部分组 B．中至少有一个非零向量C．全是非零向量 D．全是零向量6．设为矩阵，则元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（　C　　）A． B． C． D．7．已知3阶矩阵的特征值为，则下列矩阵中可逆的是（　D　　）A． B． C． D．的特征值为，，可逆．8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（　D　　）A． B． C． D．第1行加到第3行得A，第1行的（）倍加到第3行得B，第2行乘以2得C，以上都是初等矩阵．而的第1行分别加到第2、3两行得D，D不是初等矩阵．9．4元二次型的秩为（　B　　）A．1 B．2 C．3 D．4二次型的矩阵，秩为2．10．设矩阵，则二次型的规范形为（　D　　）A． B． C． D．令，则．解法二：，存在正交矩阵，使得，即的规范形为．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知行列式，则_________．，．12．已知矩阵，且，则_________．，所以．解法二：注意到，所以．13．设矩阵，则_________．，，．14．已知矩阵方程，其中，，则_________．，．15．已知向量组线性相关，则数_________．由，得1．16．设，且，则的秩为_________．线性无关，秩为2．17．设3元方程组增广矩阵为，若方程组无解，则的取值为_______．当且仅当时，，，，方程组无解．18．已知3阶矩阵的特征值分别为，则_________．特征值分别为，．19．已知向量与正交，则数_________．由，即，得．20．已知正定，则数的取值范围是_________．，，．三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．计算行列式的值．解：．22．设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，求．解：由，得，，其中，，．23．已知线性方程组，（1）讨论常数满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1），时，方程组有解．（2），，通解为．24．设向量组，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：，向量组的秩为3，是一个极大线性无关组，．25．设矩阵，，存在，使得；存在，使得．试求可逆矩阵，使得．解：由题意，的特征值为，对应的线性无关特征向量为；的特征值为，对应的线性无关特征向量为．令，则是可逆矩阵，使得；令，则是可逆矩阵，使得．由上可得，从而，即，令，则是可逆矩阵，使得．26．已知，求正交变换，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为．，的特征值为，．对于，解齐次方程组： ，，取，，先正交化：，．再单位化：，．对于，解齐次方程组： ，，取，单位化为 ．令，则P是正交矩阵，经过正交变换后，原二次型化为标准形 ．四、证明题(本题6分)27．设向量组线性无关，且．证明：若，则向量组也线性无关．证：设，即．由线性无关，可。