几何证明——角平分线模型(中级).docx

★初中几何证明专题 ★几何证明 —— 角平分线模型 (中级 )【知识要点】１、角平分线：（ 1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）；（ 2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上作用：证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线）2、角平分线常见用法（或辅助线作法）：①垂两边： 如图 1，已知 BP 平分 ABC ，过点 P 作 PA AB ， PC BC ，则 PA PC ②截两边： 如图 2，已知 BP 平分 MBN ，点 A BM 上，在 BN 上截取 BC BA ，则 ABP ≌ CBP ③角平分线 +平行线→等腰三角形：如图 3，已知 BP 平分ABC ， PA/ /AC ，则 ABAP ；如图 4，已知 BP 平分ABC ， EF //PB，则 BEBF MAAPAAPPPBBCBCBECNC(1)(2)(3)(4)F④三线合一（利用角平分线 +垂线→等腰三角形） ：如图 5，已知 AD 平分BAC ，且 ADBC ，则 ABAC，BD CDAB DC（ 5）3、角平分线比例定理如图 6， AD 为 ABC 的角平分线，则 AB BD 或 AB AC 。

AC CD BD CDAB D C（ 6）◆角平分线模型◆ 1★初中几何证明专题 ★【经典例题】例 1、已知如图， ABC 中， BC AC ， AD 平分 CAB ，若 C 90 ，求证： AB AC CD ；例 2、如图，在 Rt ABC 中，且EG//AB交CB于G例 3、已知如图， ABC 中，ACB 90 ，CD AB于D，AF平分 CAB交CD于E，交 CB于F，试求： CF 与 GB 的大小关系如何？CFE GA BDBC AC ， AD 平分 CAB ，若 C 108 ，求证： AB AC BD ；例 4、如图：已知 I 是 ABC 的内心， DI / /AB 交 BC 于点 D， EI / /AC 交 BC 于 E求证： DIE 的周长等于 BC AIB D E C◆角平分线模型◆ 2★初中几何证明专题 ★例 5、如图：已知在 ABC 中， ABC 的平分线与 ACB 的外角平分线交于点 D ， DE ∥ BC ，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F ，求证： EF BE FC AE F DB C M例 6、如图，已知 ABC 中 BAC 90 , AB AC,CD 垂直于 ABC 的平分线 BD 于 D ， BD 交 AC 于 E ，求证：BE 2CD 。

ADEB C◆角平分线模型◆ 3★初中几何证明专题 ★【提升训练】1、如图，已知 ABC 的周长是 21,OB, OC 分别平分 ABC 和 ACB ， OD BC 于 D ，且 OD 3 ，求ABC 的面积．AOB D C2．如图，△ABC 的三边 AB 、BC、CA 长分别为 40、50、60．其三条角平分线交于点 O，则 S△ABO ：S△BCO：S△CAO=．3．如图， ∠AOB=30°，OP 平分 ∠AOB ，PC∥OB，PD⊥OB，如果 PC=6，那么 PD 等于 ．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线， DF⊥AB ，垂足为 F，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，求△EDF的面积．5．已知如图在 △ABC 中， ∠ACB=90°， CD⊥AB 于 D，∠A 的平分线交 CD 于 F，BC 于 E，过点 E 作 EH⊥AB 于 H ．求证： EC=CF=EH．◆角平分线模型◆ 4★初中几何证明专题 ★6．已知：如图，平行四边形 ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G， H，求证：四边形 EFGH 是矩形．7．如图，等边 △ABC 中， AO 是∠BAC 的角平分线， D 为 AO 上一点，以 CD 为一边且在 CD 下方作等边 △CDE，连接 BE．（ 1）求证： △ACD≌△BCE；（ 2）延长 BE 至 Q，P 为 BQ 上一点，连接 CP、CQ 使 CP=CQ=5，若 BC=8 时，求 PQ 的长．8．如图，已知在 △ABC 中， ∠B=90°，两直角边 AB=7 ， BC=24，在三角形内有一点 P 到各边的距离都相等，则这个距离是多少？9．已知：如图在 △ABC 中， ∠C=90°，AD 平分 ∠BAC ，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD：CD=9：7，求： D 到 AB 边的距离．10．如图， △ABC 中，点 D 在 BC 上，记 △ABD 的面积为 S1，△ACD 的面积为 S2，若 S1： S2=AB ：AC，则 AD 是△ABC 的角平分线．请说明理由．◆角平分线模型◆ 5★初中几何证明专题 ★11、如图，已知在 ABC 中，分别以 AC, BC 为边向外作正 BCE 、正 ACD ， BD 与 AE 交于 M ，求证：（1） AE BD 。

2） MC 平分 DME DC EMA B12、已知：如图， AP 、 CP 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 的平分线，它们交于点 P ，求证： BP 为MBN 的平分线MAPNB C13、如图， AB 2 AC, BAD DAC, DA DB ，求证： DC AC AB CD14、如图，已知 AC ∥ BD 、 EA 、 EB 分别平分 CAB 和 DBA,CD 过点 E ，求证： AB AC BD CEDAB◆角平分线模型◆ 6★初中几何证明专题 ★15、如图，ABC 中， AD 是A 的平分线， E, F 分别为 AB, AC 上一点，且 EDFBAF 180 ，求证： DEDF AE FB D C、已知： AC 平分BAD， CEAB ，BD180，求证：AE AD BE16CDA E B17、已知，在 ABC 中， BP 、 CP 为角平分线，过 P 点作 EF // BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F 求证： EF BE CF AE P FB C18、已知如图， AD 平分 BAC ， AC AB BD ，求证： B 2 C 。

AB D C◆角平分线模型◆ 7★初中几何证明专题 ★19、如图，在四边形ABCD 中， AC 平分BAD，过 C 作CEAB 于 E，并且 AE1(AB AD)，求证： ABCADC 180 2DCA E B20、已知 ABC 中， AB AC ，GE 过 A且 GE // BC ， B的平分线与 AC 和 GE 分别交于 D、 E， C的平分线与 AB 和 GE 分别交于 F 、 G 求证 DE FG G A EF DB C21、如图，已知线段 AB ∥ CD ， AD 与 BC 相交于点 F ， BE 平分 ABC ， AE 1 AD ，猜想线段 AB 、2BC 、 CD 三者之间有怎样的等量关系 ?请写出你的结论并予以证明C DFEA B22、如图，已知 ABC 中， CE 平分 ACB ，且 AE CE ， AED CAE 180 ，求证： DE // BC AD EB C◆角平分线模型◆ 8★初中几何证明专题 ★23．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠A=90°，A。