2024年中考数学常见几何模型——圆中的重要模型之隐圆模型（解析版）.pdf

圆中的重要模型之隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答隐圆常见形式：动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握模 型 1、动点定长模型（圆的定义）若尸为动点，AB=AC=AP,则 8、C、尸三点共圆，A 圆心，半径圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.例 1.（2023山东泰安 统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtAO B的 一 条 直 角 边 在 x 轴上,点 A 的坐标为（-6,4）；Rt COD中，Z C O D =90,O D =4&Z D =30,连接B C,点 M 是 3 C 中点，连接A M .将 Rt COD以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段A 的最小值是（）A.3 B.642-4 C.2713-2 D.2【答案】A【分析】如图所示，延长及1到 E,使得AE=AB,连接OE,C E,根据点A 的坐标为（-6,4）得到3E=8,再证明AM是 sBCE的中位线，得到AM=（CE；解Rt COZ）得到OC=4,进一步求出点C 在 以。

为圆心,半径为4 的圆上运动，则当点M 段OE上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，据此求出CE的最小值，即可得到答案.【详解】解：如图所示，延长5 4 到 E,使得AE=A B,连接OE,CE,HRtAAOB的 一 条 直 角 边 在 x 轴上，点A 的坐标为(-6,4),0AB=4,OB=6,SAE=AB=4,回 3=8,回点M 为 中 点，点A 为BE中点，回 AM 是 8C E 的中位线，回 AAf=；C E；在 Rt CC 中，ZCOD=90,OD=岷 AD=30,0OC=-0 0 =4,3团将Rt.：C 8 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，回点C在 以为圆心，半径为4 的圆上运动,回当点M 段0 E 上时，CE有最小值，即此时A 有最小值，mOE=JBE2+OB2=10 CE的最小值为10-4=6,回 A的最小值为3,故选A.【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含 30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键.例 2.(2023广东清远统考三模)如图，在 RtABC,ZACB=90,E 为 AC边上的任意一点，把 BCE沿BE折叠，得到连接A F.若BC=6,AC=8,则 AF的最小值为【答案】4【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点尸的运动路线，并确定最 小时点/所在位置F，再求出A A 的长度即可.确定点尸的运动路线是解题的关键.【详解】解：0 3CE沿 BE折叠，得到AB产 E,51BF=BC=6,回点P 在以2 为圆心6 为半径的圆上，设以8 为圆心6 为 半 径 的 圆 与 交 于 点/工贝!8尸 =BC=6,的 最 小 值 为A F的长;在RtA BC 中，QBC=6,AC=8,A B =B C2+AC2=7 62+82=10-0AF,=AB-BF,=lO-6=4,EIAF 的最小值为 4,故答案为：4.例3.（2022北京市九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，A E、AF分别是2C,8的中垂线，ZEAF=80,ZCBD=30,则 ZABC=,ZADC .【答案】40；60【分析】连接A C,根据线段垂直平分线的性质可得A8=AC=A ),从而得到8、C、。

在以A为圆心，A 3为半径的圆上，根据圆周角定理可得N，AC=2NOBC=60再由等腰三角形的性质可得，即可求解.【详 解】解：连 接AC,ZDAF=ZCAF=30A E、AF分 别 是8 C、CD的中垂线，.AB=AC=A,:.B、C、D在以 A 为圆心，AB为半径的圆上，ZCB=30,:.ZDAC=2ZDBC=m,A F L C D,CF=DF,ZZMF=NC4F=30,/.ZADC=60,AB=AC,BE=CE,：.ZBAE=ZCAE,又i ZEAC=ZEAF-ZCAF=800-30P=50,ZABC=ZACE=90-50=40.故答案为：40,60.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到8、C、在以A 为圆心，为半径的圆上是解题的关键.例 4.（2023上江苏无锡九年级校联考期中）如图，正方形ABC中，AB=6,是 BC的中点.以点C 为圆心，CE长为半径画圆，点尸是（C 上一动点，点尸是边AD上一动点，连接A P,若 点是 AP的中点，连接3/，F Q,则 3尸+尸的 最 小 值 为.【答案】3亚-1 分析 取点B 关于直线A D 的对称点M ,连接BD、A C 两线交于点O,连接，CP,过。

作 ON，AB1 1 3 3于点N,则?=5x3=5,所以点为圆心，,为 半径的一上运动，求出ON=AN=BN=3AB=3,则 ACV=6+3=9,由勾股定理得=的 2+32,=3回,由BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQOM,所以当“、F、Q、四点共线时，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3 M 的值最小，所以3尸+尸的最小值为BF+FQ=OM-OQ=3 y/W-.【详解】解：取点5 关于直线AD的对称点M,连接8AC两线交于点Q,CP,M O,过 0正方形 A8CO 中，AB=6,E 是 BC 的中点，.CE=JBC=3,1 1 3.,点是 AP的中点，点是A C的中点，；.OQ=5cp=CE=5，3.点为圆心，万为半径的；上运动，,四边形 ABCD是正方形，:.ACLBD,OA=OB,:.ON=AN=BN=AB=3,A M =AB=6,：.M N =6+3=9,O M =iMN2+ON2=V92+32=3 0，BF+FQ+OQ=M F +FQ+O Q O M ,当 M、F、四点共线时，尸OQ=M/+尸 Q+OQ=O M=3jIU 的值最小，.BF+FQ的最小值为+世=0出-0 0 =3亚一:故答案为：3/10-|.【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点。

的运动路径.模型2、定边对直角模型（直角对直径）固 定 线 段 所 对 动 角/C 恒为90,则 A、B、C 三点共圆，为直径寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.例 L（2023山东统考中考真题）如图，在四边形ABC中，Z A B C =Z B A D =90,AB=5,A D =4,A D B C,点 E 在 线 段 上 运 动，点厂段AE上，/A D F =N B A E,则 线 段 正 的 最 小 值 为.答案晒-2/-2+回【分析】设AD的中点为以AD为直径画圆，连接8 与 C O 的交点为点 尸，证明NDE4=90可知点P 在以AD为直径的半圆上运动，当点产运动到3 与（的交点 时，线段BF有最小值，据此求解即可.【详解】解：设AQ的中点为以AQ为直径画圆，连接0 2,设2 与 =4,AO=OF=AD=2,BO=J52+22=8尸的最小值为，应 一 2，故答案为：A/2 9-2 .【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点尸的运动轨迹是解题的关键.例 2.（2023上江苏苏州九年级校考阶段练习）如图，以G（0,l）为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于A,8 两点，与 y 轴交于C,。

两点，点 E 为G 上一动点，作 CF_LAE于 点 当 点 E 从点8 出发，顺时针旋转到点时，点尸所经过的路径长为（）A 6 a 6 nA.-71 D.-71 C.-71 D.-714 3 2 3【答案】B【分析】连接AC,AG,A D,先由圆周角定理得到点尸的运动轨迹是以AC为直径的圆上，且点在圆上，进而得到当点E 从点2 出发，顺时针旋转到点时，点厂所经过的路径长为0 4 的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得AC=J o A +O C2=2垂)，Z A C O =30,则0 4 所对的圆心角的度数为60,利用弧长公式求得OA的长即可求解.【详解】解：连接AC,AG,AD,E IC F 1 A E,回 ZAFC=ZAOC=90,团点P 的运动轨迹是以AC为直径的圆上，且点在圆上，当点E 在点8 处时，C O L A E,点尸与O 重合;当点E 在点处时，回以G(0,l)为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于A,8 两点，与 y 轴交于C,两点，5 1 Z C A D=90 S P C A 1 A E,点厂与 A 重合，回当点E 从点B出发，顺时针旋转到点时，点 F 所经过的路径长为0 4 的长；GO AB,G(0,l),A G =2,OA=yJAG2-O G2=y/3JCD2-B C2=473 f -42=472,过点B作 FBx 轴，过点C 作 C F,尸 G 于点尸，过点。

作O G L/G 于点G,贝 lJ/F =/GCF FB BC 4 1国NFCB=B G,BSB G D,回 面=而=而=砺=/设 CF=a,=则 3G=0a,D G =0bE I/（2,2 6 +a）,G（8,伤）回 产 G=8-2 =6,OG=a+2有回 2+1 8解得：/7=2+2 3 s in Z（9 D B =s i n Z G，B ）=DG=A/=3+A/60+2石=回 3 BD 4V2 6IB sin/Q W 的最大值为士标，故选：A.6【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质圆周角定理，得出点8 的轨迹是解题的关键.例 2.（2023广东深圳校考模拟预测）如图，在边长为6 的等边.ABC中，点 E 在边AC上自A 向 C 运动,点尸在边C3上自C 向8 运动，且运动速度相同，连接A尸交于点尸，连接C P,在运动过程中，点尸的【答案】AC.3百D.兀2【分析】过点A 作4L A C 于 4,作 0 3,3 c 于 B,连接O C,交A 8于证明Rt ACO丝Rt_8CO（HL）,得4=0 6,再证明aACF 5AE（SAS）,可得NA尸 8 =180。

一 60确定点尸的运动路径是以点为圆心，以4 为半径的弧4 8,再由弧长公式求解即可.【详解】解：如图，过点A 作4_LAC于 4作0 3,3 c 于8,连接C,交于BACS是等边三角形，:.A C B C A B,ZAC3=NC4B=60,ZAOB=360-60-90-90=120,OC=OC,.-.Rt ACO丝 Rt BCO(HL),.-.OA=OB,OC 是 AB 的垂直平分线，AD=BD=A B =3,在 RtAADO 中，ZZMO=30,OD=AD tan 30若，OA=2OD=243-AE=CF,：.ACF,BAE(SAS),.-.ZCAF=ZABE,NC4F+ZB4P=60ZABE+ZBAP 6Q,ZAPB=180-60=120,点尸的运动路径是以点为圆心，以4为半径的弧AB,.点 P 的运动路径长为12X%X2 6=M 故选：A.180 3【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点尸的运动轨迹等知识，确定点尸的运动轨迹是解本题的关键.例 3.(2023 成都市九年级专题练习)如图所小，在扇形AOB中，OA 3,ZAO8=120点C 是AB上的动点，以BC为边作正方形3C E,当点C 从点A移动至点B 时，求点。

经过的路径长.【答案】点经过的路径长。