模块3热点题型二数列的证明和求数列通项公式【高考数学热点题型】.doc

热点题型二数列的证明和求数列通项公式数列的通项公式在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中 对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题 的关键和解决数列难题的瓶颈求通项公式也是学习数列时的一个难点由于求通项公式时 渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强基础知识整合】一、等差（等比）数列的证明常用方法：1. 定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子%= d和色+厂％二d有差别，前者 必须加上否则〃 =1时&）无意义；在等比数列中一样有：① 心2时，有d = ・・ = q （常数qHO）；②朋NF寸，有也 = ••・ = § （常数qHO）. 色-1 Q”2. 中项法①+賂2=2%os”｝是等差数列，％”+2=Q“+ja工0）oa｝是等比数列，这是 证明数列｛色｝为等差（等比）数列的另一种主要方法 二、求数列通项公式的常用方法:1.公式法、利用0“ =5 5=1） Sf心）2.求差（商）法：类似于“丄坷+4°2+皿硏厶％ = 2/? + 5 , °口2电皿乩=匕±”2 2/ 2" n +1等条件时，使用求差（商）法求解；3. 累加法：类似于“匕出-色=/（町”的条件吋，使用累加法求解=/（/!-2）d-2_G“_3=/（〃_3）。

2-q =/（1）以上式子左右分别相加，得色一q =/(〃 一 1) + /(〃 一 2) + /(北一 3)……/(I) 所以得到色=/(—1) + /(〃_2) + /(—3)•……+/(1) + ®4叫类似于“譽F")”的条件时，使用累乘法求解;an = /(i)n/(2)匚/⑶nny(/?_i)a\ a23 色-1^775•倒数法：类似于“色+|=上」”的条件时，使用倒数法求解 5+k由已知得：丄二Q" + 2二丄+丄Q卄I 2色 2 an/J—［为等差数列，丄=1,公差为丄，・・・丄=1+(刃一1)丄二丄s+i),・・・色二2〔勺 J 4 2 an 2 26.构造法:比如:an=kajd(k,d为常数，20,"1,"0)可转化为等比数列，设a” + c = k(% + c) => an =kan_x +(£ — l)c令(k» = d, ・・・c =吉・・｛色+占｝是首项为4 +白k为公比的等比数列n k-\•5da. + 1 k-\(1 \a. + (k-\) 类型一等差(等比)数列的证明【典例1】［2016年高考新课标III (17)］己知数列｛色｝的前刀项和S” = 1 +加”,其中2 H 0 .(1) 证明｛色｝是等比数列，并求其通项公式;1 j【答案】⑴吸口 (石T【解析】S], n = l试题分析：（I）首先利用公式色=c c c，得到数列｛匕｝的递推公式，即可得到〔S”—S”-], 22｛色｝是等比数列及｛色｝的通项公式；试题解析：（I）由题倉得q=S]=l+也，故久Hl，=7—7 勺工0・L—A由S» = 1十、,»+i=l +忌*+i得咳+i =也z —也| >即咳+i（久-1）=血” •由坷工0,兄工0得务工0, 所以也=启.4 兄T1 2 1 2因此｛咳｝是苜项为丄，公比为各的等比数列，于星咳=丄（/7）小・1 — A A—1 1 —A A — 1 4考点：数列的通项绻与前斤项和S“的关系，等比数列的定义、通项公式及前农项和.【典例2】 正数数列｛色｝和｛仇｝满足：对任意自然数仏5 “ 色+]成等差数列, 们 %,仇+】成等比数列•证明:数列｛何｝为等差数列•【证明】依题意,an >0, bn > 0,2乞二 an + an^ ,且 an+i = ^bnbn+l ,・•・色=血一肉⑺三2）…•・2»=札卩+ Jb扎、•由此可得2賦=斥+甌 即应:-賦=賦_亦二心2）.・••数列｛施｝为等差数列・【思路点拨】本题依据条件得到匕与乞的递推关系，通过消元代换构造了关于｛、底｝的等差数列，使问题得以解决.通过挖掘S”的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处 理大大简化了计算.【变式训练】在数列｛色｝中,。

严1,2色+严（1 +丄）2色（ne N+） •n（i）证明数列[终!成等比数列，并求｛色｝的通项公式；【解析】（【）由条件得一乩亏=丄臭，又〃=i时，尘=i,⑺+ 1）2 2 n2 n2故数列(终!构成首项为1,公比为丄的等比数列.从而终二厶，即cin=^—.[n2\ 2 iv 2心 ” 2心类型二、求数列的通项公式⑴ 形如：Sn = /(色)或S” = f(n),求陽【典例3】[2016年高考山东理(18)】已知数列｛色｝的前刀项和S,=3h2+8/?, ｛$｝是等差数列,且色=仇+扁・(I)求数列｛$｝的通项公式；【答案】(I)仇=3,7 + 1【解析】试题分析：(I)根据冬=S” - Sp及等差数列的通项公式求解：试题解析：⑴ 由题意知当心2时，^=Sk-S&]=6〃 + 5,当” =1 日寸，d]=Si=ll,所以aH=6n + 5.设数列｛氏｝的公差为d,°=切+场 [11 = 2A + d由广7 :，即5L J 可解得E=4M = 3,02 = b2+b3 [17 = 22^ +3d所以 ^=3« + l.考点：数列前/?项和与第刀项的关系；等差数列定义与通项公式；【解题技巧】对于此类问题，解题方法总结如下：第一步 利用S”满足条件”，写出当n>2时，的表达式；第二步 利用色二S〃-S心(/?22),求出％或者转化为色的递推公式的形式；第三步 根据求出q,并代入｛色｝的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不 成立，则写出分段形式或根据q和｛色｝的递推公式求出色・(2) 形如:- = /(«)或％+i=d〃x/O),求陽/]— 1【典例4】[2017浙江省温州市高三月考试题】在数列｛①｝中，舛=1,厲=〒勺」(/?【答案】心n — 1 n — 2 1【解析】・・・色=—% (nN2),・・・塔.]==%_2, •••' &=評.以上(n—1)个式子相乘得n n 1 za =a)・£・# =—=-.当n=l时，a)= l, 上式也成立.・*. a =-.n 2 3 n n n " n【解题技巧】对于此类问题，解题方法总结如下：第一步 将递推公式写成弘 = /(〃)；第二步依次写出上匚,…，鱼，并将它们累加起来；% 4第三步得到乞的值，解出％;第四步 检验q是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.(3) 形如：an+l - an = f(n)或 % = an + f(n),求 an【典例5】 在数列｛色｝中，坷=2, %+1=陽+沽帀,则数列MJ的通项公式是an =3 【答案】 〃【解析】由题意得如一弘=(1丄—七, n\n 十 1) n n十 1an= (an—an-i) + (an-i—an-2)+ ••• + (a*2—aj +aiz 1 1 z 1 1 \ /I 1、八 1、C c 1-( 7 ) + ( 7)+ ••• + (— --) + (1-—) + 2 = 3 —n-\ n n-2 n-\ 2 3 2 n【解题技巧】对于此类问题，解题方法总结如下：第一步将递推公式写成d曲一色= /(〃);第二步依次写岀色一色十…卫2—如并将它们累加起来;第三步得到色-q的值，解出色;第四步 检验坷是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.【变式训练1】已知数列｛色｝的前项和为S”，若St=2atl-4^ne TV*),则°产( )A. 2,,+I B.2n C. 2心 D. 2n'2【答案】A-【解析】试题分析：％ =S朋--(如-4)=>如=2%再令” =1,— 4=>Oj = 4,•••数列何｝是以4为首项，2为公比是等比数列，a* = 4 • 2*-1 = 2**1,故选 a-考点：本题主要考查数列的通项公式.【变式训练2】已知数列«｝中,q二1, an+l =2,lan (ne 7VJ,则数列｛勺｝的通项公式为()n(n-\) n2A. an = 2,,_1 B. an = 2W C. an = 2^~ D. an = 2 2【答案】C【解析】 试题分析：色+严2"色=也 =2“=>玉•鱼•丑…企 = 2、22x23x・・・x2”=an 勺 a2 a3 an-in(n-l)=>a”=2 2 ®=2 2 ・故 C 正确.考点：1累乘法求通项公式；2等差数列的前〃项和.。