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第一章 非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡1 小角度无阻尼单摆 椭圆点单摆，一个由摆线l联着的重量为mg的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了 图1-1 数学摆 首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m的单摆的运动方程为： (1-1-1)式中θ为摆角，g为重力加速度将等式右边项移到到左边，并以ml相除后有：设 ，它是以单位时间的弧度为单位的角频率，则式(1-1-1)可写为： (1-1-2)由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。

用级数展开正弦函数： (1-1-3)如果x很小，则可以忽略三次以上的高次项，即这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程： (1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：式中l为常数代入方程(1-1-4)并消去因子后得特征方程： (1-1-5)方程(1-1-5)的特征根为：由此得到方程(1-1-4)的通解为： (1-1-6)式中，为复常数由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数，必须满足条件：于是得条件：，将满足这样条件的系数，写成指数形式：，其中P为它们的模，为幅角，则(1-1-6)式写成如下形式： (1-1-7)(1-1-7)式是一个振幅为P，角频率为的简谐振动表示式，表明单摆在摆角很小时的摆动为简谐振荡，其振动波形可以用正弦曲线来表示由的定义可知，它只与摆线l得长度有关，与摆锤质量为m无关，它被称为单摆的固有角频率。

实际上简谐振动是一切线性振动系统的共同特征，它们都以自己的固有角频率作正弦振动例如：线性弹簧上的振子、LC振荡回路中的电流、微波与光学谐振腔中的电磁场以及电子围绕原子核运动等等，都可以近似地用一定固有角频率的简谐振动来描述式(1-1-7)是以振动的时间波形来描述系统的振荡状态，这是一种最常用的表示振动的方法，但不是唯一的方法例如，我们可以对方程(1-1-4)进行一次积分，并为简单起见，选择时间标度使，则有 (1-1-8)式中E为积分常数，由初始条件决定如果把和看作为两个变量，则方程(1-1-8)是一个圆周方程，在以和为轴的直角坐标的平面上，方程(1-1-8)是一个半径为的圆，振动过程以一个代表点沿圆周转动来表示，如图1-2所示 图1-2小摆角单摆的相图 如果我们不采用，那么方程(1-1-8)应该变成： (1-1-9)于是，我们得到一个椭圆表达式所以在以和为轴坐标的平面上，方程(1-1-9)表示了一个椭圆用和为轴坐标定义的平面称为相平面，“相”的英文字是“Phase”，意为状态，因此相图即为状态图。

在相平面上表示系统运动状态的方法称为相平面法相图上的每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统的运动状态则用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线还可以形象地认为，相空间内的相点想象成一种流体中的质点，相点的运动构成一种相流，因此相轨线是不会相交的相流可以用平常处理流体运动的连续性方程去描述用相空间里的轨线来表示系统的运动状态的方法是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出来的，现在已成为广泛使用的一种描述系统运动状态的方法，今后我们将经常使用因为方程(1-1-8)右边第一项可看作为系统的动能，而第二项则为系统的势能，因此方程(1-1-8)[或方程(1-1-9)]又可写为：可见积分常数E是系统的总能量在运动过程中，K和V两者都是随时间变化的，而系统的总能量E保持不变当K== 0时，，有，这时摆处于静止状态，称为静止平衡当时，由于系统的总能量保持不变，摆的运动状态就用确定的周期描述可见不同的能量E相应于半径不同的圆，它构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]显然同一个圆周[或椭圆]上的各点能量相同，所以它们又被称为等能轨道显然坐标原点是轨道在能量的点，因为围绕该点的轨线是椭圆，所以人们常将为椭圆轨线围绕的静止平衡点称为‘椭圆点’。

以后我们可以看到，椭圆点在说明系统的运动行为时具有重要意义2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点上面讨论了单摆在小角度摆动时的运动状态，一般来说我们不应对单摆的摆角作任何限制，即单摆的摆角应该可以取任意数值特别是如果设想单摆的摆线是刚性的，则摆角可以超过90度，接近或达到180度，使单摆达到倒立状态，甚至可以超过180度，使单摆以一定的角速度旋转起来本小节就是讨论在任意摆角下单摆的运动规律首先我们注意摆角增大对单摆的振动周期影响由式(1-1-7)可见，小角度单摆的振动周期为，由于摆长l与g没有变化，因此小角度单摆的振动周期是常数，与摆角是无关的但是在摆角不是很小的情况下，单摆的振动周期还与摆角无关吗？当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯的摆动时发现，长度一定的摆其摆动周期不因摆角而变化，因此可以用以精确计时惠更斯就是利用了伽利略的这个观察结果发明了摆钟那么单摆的振动周期到底与摆角是否有关呢？我们可以看一下表1-1所列的实验数据： 表1-1 单摆的振动周期与摆角的关系q 00510203045T/T01.00001.00051.00191.00771.01741.0369 表中，T0是在零摆角极限下的周期。

由表可见，单摆的振动周期是随摆角的增加而增加的由表可见，在摆角为45o时单摆的振动周期T约比周期T0增加了3.7%！实际上，即便在摆角很小()的情况下，摆的周期增大效应就已存在事实上如我们计及sinq展开式中的高次项时，即考虑非线性项时，摆角与周期无关的结论就不成立了伽利略所得出的单摆等时性规则只不过是一种近似，这是由于当时的时间计量精度不高所造成的单摆的周期与摆角的关系的定性图象如下：由于非线性的影响，只要单摆的摆角大于零，单摆的周期就大于摆角极限下的周期T0，只是在摆角小于90度时，周期随摆角增加的变化不大；而当超过90度时，周期T随摆角增大而很快增长；当θ→180o时，摆的周期T→∞，这是非线性项的影响越来越大的缘故振动周期的倒数是振动频率，因此振动周期在随摆角增加而增加的同时，振动频率将越来越慢而且在摆角增加的同时，振动波形也由原正弦形状逐渐变成矩形状，从简谐振动变成了张弛振动在数学上，单摆的周期与其摆角的关系可以采用如下的方法求得将方程(1-1-2)的两边乘以并对t积分，得： (1-1-10)式中E为积分常数在最大角位移处，角速度=0，因此求得积分常数E为：因此，由式(1-1-10)得： (1-1-11)式(1-1-11)积分得： (1-1-12)设t = 0时，，并设振动周期为T，则在时应有，再运用半角公式，得： (1-1-13)将表示成的函数，并写成：则应有：由此可得：因而可将式(1-1-13)变为： (1-1-14)式中，。

最后可以计算出： (1-1-15)忽略高次项，得单摆的周期近似地为： (1-1-16)与小角度时的情况不同，在任意摆角时我们很难给出相平面[]上单摆轨线的数学表达式为了寻求任意摆角时单摆在相平面上的轨线形状，我们考察相平面上两个特殊点[]和[]附近的情况[]实际上是相图坐标的原点，它附近的轨线形状就是前面小摆角时讨论过的情况，即由式(1-1-8)表示的椭圆，因此我们这里只寻找[]附近的轨线方程考虑到是摆锤处于倒立的状态，因此可以取对铅垂的偏角f 来表示单摆在附近的摆角，如图1-3所示，即将代入单摆方程(1-1-2)有： 图1-3 摆角达到接近倒立的单摆经简单运算后得：由于f也是很小角度，可以利用，于是得： (1-1-17)对式(1-1-17)积分，得： (1-1-18)E为积分常数在数学上式(1-1-18)是一个双曲线方程，也就是说在摆锤处于倒立点附近，相轨线是由E值确定的一条双曲线，不同的E值给出双曲线簇。

当E＝0时有这是交点在[]处的两条相交的直线，它们是双曲线的渐近线，如图1-5所示变换回[]坐标平面时，交点[]为相图上的[]由此可见，坐标点[]是双曲线两条渐近线的相交点，因此该点常称为双曲奇点双曲点是在讨论系统的运动行为时另一个具有重要意义的特殊点 图1-4 单摆倒立附近的相轨线 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线由于无法推导完整的相轨线方程，我们只能从小摆角和大摆角两种特殊情况推断无阻尼单摆的完整相图我们已经知道在坐标的原点[]附近，即低能量小角度情况，单摆的相轨线为近似椭圆形的闭合轨道当摆角增大时，单摆能量E提高，轨线逐渐扩展开来，在横坐标的两个方向上轨线逐渐呈现出尖角状；当能量E再提高时，单摆接近到倒立状态，那种尖角状的轨线形状发展成双曲线形，于是我们得到由图1-5a给所示的单摆在任意摆角下相平面上的轨线现在讨论任意摆角下单摆相轨线的特征，为此先看一下它的势能曲线关于单摆的势能可以从基本方程(1-1-2)获得若取，对方程(1-1-2)积分得： (1-1-19)其中右边第一项我们已在方程(1-1-8)中见到过，它是单摆的动能K，等式右边的积分常数E应是单摆的总能量，所这是一个能量方程，左边的第二项是势能V。

于是我们有： (1-1-20)所以单摆的势能曲线是以余弦函数分布的，如图1-5b所示 图1-5 单摆的相轨线及势能曲线 我们可由势能曲线来讨论相图上的一些特殊点的性质由可以获得单摆的两个平衡点：即[]与[]平衡点有稳定的与不稳定的之分在[]平衡点附近，当时，；当时，，可知平衡点[]是极小点，当系统离开该平衡点时，恢复力总是指向，所以这是一个稳定平衡点从相图上看，与[]平。