线性代数习题2022及参考答案.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑线性代数习题2022及参考答案 线性代数练习题（答案） 一、填空题： 1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 2. 行列式某两行（列）元对应成比例，那么行列式的值 0 ?59????13?1?3. 已知A??,B?0?3??,那么AB等于 ?261?????114?????6?4???214?? . ???310???4. 若A??223?,且秩(A)=2,那么t= 6 . ?13t????15. 已知方阵A得志aA2?bA?cE?0(a,b,c为常数c?0),那么A?(aA?bE)c ?216.4阶行列式 43350?5281707中（3，2）元素的代数余子式A32是 -223 . 447.向量组（Ⅰ）α1 , α2 ,…, αr与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，那么r与s的大小关系为 r?s . ?102???8. 设A=?030?，A*为A的伴随矩阵，那么| A*|= 225 . ??005??9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 . a11a2110.四阶行列式D?a31a41项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域. 12. 设λ1, λ2 ,…, λn是矩阵A的n个特征值，那么λ1 λ2…λn= | A| ?100??? 13. 设矩阵A=?220?，那么矩阵A的列向量组的秩为 2 . ?340??? a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24是 24 项的代数和，其中含a11的项共 a34a44 6 14．设向量?=（1，2，3，4），那么?的单位化向量为 (1,2,3,4) 30 . 1 15．设A，B均为三阶方阵，且｜A｜= -3，｜B｜=6，那么｜AB｜= 18 ． 16. 设?1?(1,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,1,0)是F的一个基,那么F的自然基?1,?2,?3到 33?101????1,?2,?3的过渡矩阵为 ?011? . ?110???16. 在欧氏空间R中，???1,0,0,1?，???1,0,1,0?，那么?与?的夹角等于 4? . 3?59??1?2?????17．已知A??30?,B??0?3?,那么A-2B等于 ?114???17???????9?20???6? . ?3?21?1???18. 与矩 2阵 2??101???A??03?2??1?20???对应的二次型是 f(x1,x2,x3)??x1?3x2?2x1x3?4x2x3 ． 19. 二次型 22f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?x1x3?4x2x3的对称矩阵为 0?2??1???22?_____ . ___?0??223???20. 若二次型f(x1,x2,x3, x4)的正惯性指数为3，符号差为2，那么f(x1,x2,x3 ,x4)的模范型为 y?y?y?y12322224 二、单项选择题： -1?37?1. 设2阶方阵A可逆，且A=?。

?1?2?，那么A=（ A ） ??27???27??2?7??37?A．??13? B．?1?3? C．??13? D．?12? ????????2. 设A为m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，那么必有（ D ）. A．秩(A)=n B．秩(A)=m C．秩(A)

?000???A. ?010? B. ?001???7. 设 ?110? ??220?? C. ?001????110???011?? D. ?121????100???111?? ?101???C ）. ???1=（1，2，1）?，?2=（0，5，3），3=（2，4，2），那么1，?2，3的秩是（ D．3 A．0 B．1 C．2 18. 设A为4阶矩阵，|A|=3，那么|6A*|=（D ）. 1A．6 B． C．2 D．48 39. 设A是m行n列矩阵，若η1，η2,……,ηt是AX=0的根基解系，那么秩A=（ A ）. A．n-t B．m-t C．m-n 10. 若向量组(Ⅰ) D．t ?1,?2,?,?r,可由向量组(Ⅱ) ?1,?2,?,?s,线性表示,且组(Ⅰ)线性无 关，那么必有( C ). A.秩(Ⅰ)<秩(Ⅱ) B. 秩(Ⅰ)＞秩(Ⅱ) C. 11. 设A是4阶矩阵，那么|-A|=（ C ）. A．-4|A| B．-|A| C．|A| D．4|A| r?s D. r＞s 12. 若行列式错误！未找到引用源。

1，错误！未找到引用源 - 2，那么行列式错误！未找到引用源 D ） A．- 2 B． 1 C．0 D． - 1 13. 设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩（B）=2，那么秩（AB）=（ C ）. A．0 B．1 C．2 D．3 14. A是m?n矩阵，P是m阶可逆矩阵，那么秩(PA)等于（ A）. A．秩（A） B．秩（P） C．m D．n 3 1?1332022?315. 设行列式A= ，那么A2的值为（ D ）. A．0 B．1 C．6 D． 36 16. 在R中，与向量α1=（1,1,1），α2=（1,2,1）都正交的单位向量是（ B ）. 11A．（-1,0,1） B．（-1,0,1） C．（1,0,-1） D．（1,0,1） 2217.与矩阵A???A． ??3 ?12?? ）。

不好像的矩阵是（03??（C） ?10??35???? B． C．错误！未找到引用源 D．错误！未????01??23?找到引用源 （提示：好像矩阵具有一致的特征值） 18．以下矩阵中，不是正定矩阵的是（ B ） A． 错误！未找到引用源 B．错误！未找到引用源 C．错误！未找到引用源 D．错误！未找到引用源 ?x1?x2?a?19．方程组?x2?x3?2a 有解的充分必要条件是a?(?x?x?1?31A.13B.?13C.1D.?1 ) B ） 20．n阶方阵A有n个不同的特征值是A可对角化的（ B ） A．充分必要条件 B．充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件 三、判断题 1. 在全体n级排列中，奇排列的个数和偶排列的个数相等√ ） 2. 对n级排列所作的每次对换都变更排列的奇偶性 √ ） 3. 线性无关的向量组中不能包含成比例的向量√ ） 4. 假设两个向量组等秩，那么这两个向量组确定等价。

×） 5．若含n个方程n个未知量的齐次线性方程组的系数行列式不等于零，那么方程组只有唯一零解 √ ） 4 6. 假设当 k1?k2???ks?0时,k1?1?k2?2???ks?s?0,那么?1,a2,?,?s线性 无关. ( × ). 7. 向量组中任一向量都可经该向量组线性表出 √ ） 8. s(s≥2)个向量线性相关当且仅当其中某一向量是其余向量的线性组合√ ） 9. 线性无关向量组的片面组线性无关√ ） 10. 线性相关向量组的片面组线性相关 × ） 11. 一个向量组的片面组线性相关，那么该向量组线性相关√ ） 12. 向量组的秩是 r，那么向量组中任意r个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.( √ ) 13. 对任意n阶方阵A，B，C，若AB=AC，那么确定有B=C. （ × ） 14.一个向量组与它的片面组等价的充分必要条件是它们等秩.( √ ). TTT(AB)?AB.( × ) 15. 16. (AB)?1?A?1B?1.( × ) 17. 若n阶矩阵A可表示成一系列初等矩阵的乘积，那么A可逆。

√ ） 18. 对矩阵施行初等列变换相当于用一个满秩矩阵左乘该矩阵 × ） 19. 任一个n阶矩阵都可作为向量空间V的一个基到另 一个基的过渡矩阵 × ） 20. 若向量空间V的每一个向量都可以表成V中向量?1，?2，…?n的线性组合，那么dimV=n （ × ） 21. 欧氏空间V的一个正交基到另一个正交基的过渡矩阵是正交矩阵√ ） 22. 正交矩阵是可逆矩阵 √ ） 23. 正交矩阵的行列式等于1.（ × ） 24. 若n阶矩阵A在给定数域内有n个特征值，那么A可对角化 × ） 四、计算题 1、计算4阶行列式 D43?1504007 ?2?18200012?1?151?400解：原式==4?(?1)=12 ?182?183?15 5 。