四类具有特殊性质的函数.doc

§1 . 2 四类具有特殊性质的函数四类具有特殊性质的函数(一)教学目的:理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判 断函数是否具有这些性质. （二）教学内容： 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法. 基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周 期性的概念,掌握其判断方法. （三）教学重点： 有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数. （四）教学难点： 有界函数的概念 教学建议： (1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象 函数性质的方法． (2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性. （五）教学方法： 以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习六）计划课时：2 课时.（七）教学过程：在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本 12-13 页） 一、一、 有界函数有界函数1、定义 设函数在数集 A 有定义若函数值的集合)(xf有上界（有下界、有界） ，则称函数在 AAxxfAf)()()(xf有上界（有下界、有界） ，否则称函数在 A 无上界（无下界、)(xf2有无界）.列表如下:函数在 A 有上界)(xfbxfAxRb)(,,有函数在 A 无上界)(xfbxfAxRbbb)(,,有函数在 A 有下界)(xfaxfAxRa)(,,有函数在 A 无下界)(xfaxfAxRaaa)(,,有函数在 A 有界)(xfMxfAxM)(,, 0有函数在 A 无界)(xfMxfAxMMM)(,, 0有注意注意:函数在数集 A 有上界（有下界、有界）必有无限多个上)(xf界(无限多个下界、无限多个界)。

2、函数在区间有界的几何意义：函数在区间上)(xfba,)(xfba,的图像位于以二直线为上、下边界的带形区域之内，MyMy与如右下图：3、举例如下例 1、正弦函数在 Rxyxycossin余弦函数与有界，如下图所示：说明：说明：1cos1sin,, 01xxRxM与有例 2、反正切函数与反余切函数在 R 有界，xyarctanxarcycot)(xfy ab0yxMM3如下图所示：说明：说明：，2arctan,, 02xRxM有.xarcRxMcot,, 0有例 3、数列与有界.  2) 1(1n  nn1说明：说明： ;有,, 01NnM12) 1(1n.有,, 02NnM21 nn例 4、指数函数在 R 有下界无上界.如图) 1, 0(aaayx对数函数在区间既无上界也无) 1, 0(logaaxya), 0( 下界.如图说明：说明：1)、,即指数函数0),1, 0(,, 0xaaaaRxP有在 R 有下界xay 2)、qaRxx q有,, 03)、同理可证,, 对数函数在区间) 1, 0(aaaxyalog既无上界也无下界.), 0( 例 5、数列有下界无上界;数列既无上界也无下界. nnn)1(说明：说明：1)、都是数列的下界; ,即, 1a nbnNnb00,,0有数列有下界无上界. n2)、.  .)12()12()1(,,22)1(,,0122bkkNkbkkNkbkk有有即数列既无上界也无下界.nn)1(二、二、 单调函数单调函数41、定义 设函数在数集 A 有定义.若,且,有)(xfAxx21,21xx ,)()(21xfxf))()((21xfxf称函数在 A 严格增加(严格减少).上述不等式若改为)(xf,)()(21xfxf))()((21xfxf则称函数在 A 单调增加(单调减少).)(xf说明说明: 1）函数在 A 严格增加、严格减少与单调增加、单调减少)(xf统称为函数在 A 单调;2）严格增加、严格减少统称为严格单调;)(xf3)若 A 是区间,则称此区间为函数的单调区间.)(xf2、举几个单调函数的例子例 6. 1) 指数函数:当时,在 R 严格增加;当 时,在xay 1a10 aR 严格减少,如图2) 对数函数:当时,在区间严格增加; 当 xyalog1a), 0( 时,在严格减少,如图10 a), 0( 3) 反正切函数在 R 严格增加,如图xyarctan4) 反余切函数在 R 严格减少,如图xarcycot5) 反正弦函数的值域限定在闭区间上,称为反正xyarcsin 2,2弦函数的主值,则反正弦函数在区间严格增加,如图xyarcsin1,16) 反余弦函数的值域限定在闭区间上,称为反余弦xyarccos,0函数的主值,则反余弦函数在区间严格减少,如图xyarccos1,1例 7. 函数与在 R 都是单调增加(注意:并不是严格增加), xy xysgn5如下图所示: 说明说明: ,且,有Rxx21,21xx 与 .   21xx 21sgnsgnxx 例 8. 数列,,都是严格增加;数列,,   nn1!n  21 n  n1   nn1都是严格减少.n三、三、 奇函数与偶函数奇函数与偶函数1、定义、定义 设函数定义在数集 A.若有，且)(xfAxAx（） ，)()(xfxf)()(xfxf则称函数是奇函数（偶函数）.)(xf说明：说明：1）奇函数的图像关于原点对称.如果点在奇函数),(00yx的图像上，即，故有)(xfy )(00xfy ，000)()(yxfxf即也在奇函数的图像上,如下图所示.),(00yx )(xfy 62）偶函数的图像关于轴对称. 如果点在偶函数的y),(00yx)(xfy 图像上，即，故有)(00xfy ，000)()(yxfxf即也在偶函数的图像上,如上图所示.),(00yx)(xfy 3）讨论奇偶性的前提是定义域关于原点对称.因此,例如函数,没有必要讨论它的奇偶性。

),[0,1]f xx x4）从奇偶性角度对函数分类：.奇函数:y=sinx 偶函数:y=sgnx 非奇非偶函数:y=sinx+cosx 既奇又偶函数:y05）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可2、举例如下例 9、正弦函数是奇函数，是偶函数,如图xysinxycos余弦函数说明说明: ,有,且 与.RxRxxxsin)sin(xxcos)cos(例 10、反正弦函数是奇函数.反正切函数也是xyarcsinxyarctan奇函数,如图7说明说明: 1),有,且1 , 1 x1 , 1 x.arcsin)arcsin(xx2) ,有,且RxRx.arctan)arctan(xx例 11、幂函数是偶函数；是奇函数， （） 如图kxy212 kxyNk说明：,有，且 与RxRxkkxx22)(1212)(kkxx四、四、 周期函数周期函数1、定义、定义 设函数定义在数集 A.若，有 )(xf, 0lAxAlx且，)()(xflxf则称是周期函数， 称为的一个周期.)(xfl)(xf说明: 若 是的周期,则 也是的周期.因为由l)(xfl2)(xf得)()(xflxf,即,用数学归   )()()()2()()()()2( xflxfllxflxfxflxfllxflxf)()2(xflxf纳法可证明,若 是的周期,则 也是的周期.l)(xf)(Nnln)(xf2)若有最小的正周期,则称为的基本周期,简称周期.)(xf)(xf2、举例如下例12、正弦函数与都是在R上以为周期的xysinxycos余弦函数2周期函数，如图说明：，有，且 与RxRx2xxsin)2sin(.xxcos)2cos(例13、正切函数与余切函数都是在定义域上以为周xytanxycot期的周期函数，如图8说明：，有，且  zkkRx2  zkkRx2xxtan)tan(,有,且zkkRxzkkRxxxcot)cot(例 14、函数是在 R 上是以 1 为周期的周期函数, xxxxfy)(如图说明: ,有,且RxRx1,      )(111) 1(1) 1()(111) 1(1) 1(xfxxxxxxxxxfxfxxxxxxxxxf故有 , 即 ,如下图所示: xx1)() 1(xfxf。