影院座位设计问题.doc

影院座位设计问题摘要：关键词：一、问题重述电影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角视角是观众眼睛到屏幕的上、下边缘的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角，仰角太大会使人的头部过分的上仰，引起不舒服，一般要求仰角不超过以下图为*影院的剖面示意图，设地面到屏幕上边缘的距离为，地面到屏幕下边缘的距离为，地板倾角，第一排和最后一排与屏幕的水平距离分别为和，观众的平均坐高为〔眼睛到地板的垂直距离〕参数，，，， 〔单位：m〕〔1〕地板倾角，问最正确位置在什么位置〔2〕求地板线倾角〔一般不超过〕，使所有观众的平均满意度最大〔3〕地板线如何设计可以进一步提高观众的满意度二、模型的假设1．假设观众的满意度只取决于仰角和视角，与其他因素无关；2．假设观众坐下后眼睛到地板的垂直距离相等，都为，且在同一直线上；3．视角对观众的满意度影响较大，且仰角在小于的围，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度一样；4．同一排座位，观众的满意程度一样三、符号说明观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角地板与水平线的夹角观众眼睛所处在坐标系中的位置坐标地面到屏幕上边缘的距离地面到屏幕下边缘的距离屏幕到第一排观众眼睛的水平距离屏幕到最后排观众眼睛的水平距离观众坐下后从地板到眼睛的垂直距离两排座位的水平间距座位的总排数四、模型的建立与求解〔一〕最正确位置求解模型1．建立直角坐标系及问题分析为方便分析，以屏幕所在的墙壁的剖面为轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为轴，以交点为原点O,建立直角坐标系如下：根据第一排观众眼睛坐标及斜率得，直线L的方程： 〔1〕 直线L上任意一点的仰角的正切值为： 〔2〕由图1，当仰角大于视角时，观众眼睛到屏幕下边缘的仰角的正切值为： 〔3〕由图2，当仰角小于视角时，观众眼睛到屏幕下边缘的俯角的正切值为： 〔4〕又由公式： 〔5〕或 〔6〕联合〔1〕〔2〕〔3〕〔5〕或〔1〕〔2〕〔4〕〔6〕式：视角的正切值为：…… 〔7〕所以我们得到、在坐标系的表达式为：…… 〔8〕观众的满意度主要取决于视角和仰角两个因素，并且视角对观众的满意度影响较大，所以一般要求在仰角不超过30度的条件下求视角最大时观众所在的位置，即为观众最满意的位置。

假设的大小以固定，则根据(8)式，视角是关于的函数，不妨令…… 〔9〕即： 又由，即得：则的取值围为： 〔10〕由以上分析把求观众最正确视角位置转换为，求解当取何值时在式〔10〕条件下最小2．建立最正确位置求解模型根据以上分析，建立最满意位置求解模型如下：〔11〕3．模型的求解参考数据〔单位：m〕如下：53.24.5191.10.810对公式〔9〕求导得：令得：又如果或，比较，，的大小，最小的即为式〔11〕解带入参数利用数学软件MATLAB7.0求解得：，，所以当时，最小最正确位置点约在〔6.23，1.4〕处，即所求最正确位置离屏幕的水平位置为6.23米，此处仰角为30度，视角为15.72度具体运算过程请见附录1〔二〕平均满意度模型1． 满意度函数的构建人们的心理变化是一个模糊的概念本文中观众对*个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念将模糊的问题数学化，离散的问题连续化，观众的满意度与眼睛所处的位置的视角和仰角有关，而视角对观众满意度的影响较大，所以视角最大的位置可以定为观众最满意的位置，因此可以通过观众所在位置的视角与最正确位置的视角差距来间接反映观众对所在位置的满意程度。

通过分析观众所在位置越接近最正确位置，观众的视角就越大，则观众的满意程度越高将离散的问题连续化，可以看到其相关函数的分布图像类似于正态分布函数，所以不妨定义观众对座位的满意度函数为： 〔12〕为观众的眼睛在直角坐标系点的横坐标值，为最正确位置的横坐标，为常数2． 平均满意度模型的建立关于地板的设计，可以根据其角度来进展设计，即通过对地板的倾角进展微调，从而得到倾角多少度时，观众的平均满意程度最大记第排座位的满意度为：从而建立模型如下：…… 〔13〕3． 模型求解查阅相关资料可知，相邻两排座位间的间距一般为，随着地板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变.由上图可看出，相邻两排座位间的水平间距与地板线倾角的关系为 ，座位的总排数，用数学软件MATLAB7.0编程求出使观众的平均满意程度到达最大时的地板线倾角值〔〕算法设计思想：〔具体程序见附录2〕〔1〕让地板倾角在逐一求值，步长为0.01；〔2〕求出此时的最正确位置 〔3〕求出平均满意程度，如果大于best_t，将此时的倾角赋值给best_t。

〔4〕如果倾角大于，停顿运算，否则返回〔1〕得出结果为：，此时的平均满意程度最大〔三〕地板设计首先证明如下结论：如以下图，随着点A的下降，逐渐减小证明：∵随着点A的下降，,都在增大∴增大，即增大又∵∴逐渐减小基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位，从而增大视角，进一步提高观众的满意程度地板可设计如下：值得注意的是，ab、cd不能太长，否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线，不符合题目要求另外，cd应该稍低于屏幕下边缘所在水平线，否则后排观众将不能看到屏幕下边缘参考文献：附录附录1：倾角10度 时最正确位置求解H=5;h=3.2;l=4.5;L=19;d=1.1;q=10*pi/180;c=0.8*cos(q);n=(L-l)/c;if round(n)>n; n=round(n);else n=round(n)+1;endang=0;*_best=0;ang_best=0;*1=sqrt((H-d+l*tan(q))*(h-d+l*tan(q))/((tan(q))^2+1));if *1>l && *1l && *2ang_best;*_best=*2;ang_best=ang;endendif l>*2;y=d;ang=atan((H-h)/(l+(H-y)*(h-y)/l^2));if ang>ang_best;*_best=l;ang_best=ang;endendfor i=1:n;*=l+(i-1)*c;sum_m=sum_m+e*p(-(*-*_best)^2);endsum_m=sum_m/n;disp('倾角10度时最正确位置 *=')disp(*_best)disp('视角为(单位：度)')disp(ang_best/pi*180)%end附录2：平均满意度求解H=5;h=3.2;l=4.5;L=19;d=1.1;t=10;mm=zeros(1001);j=1;best_m=0;best_t=10;while t<=20;q=t*pi/180;c=0.8*cos(q);n=(L-l)/c;if round(n)>n; n=round(n);else n=round(n)+1;endang=0;*_best=0;ang_best=0;%求最正确位置*1=sqrt((H-d+l*tan(q))*(h-d+l*tan(q))/((tan(q))^2+1));if *1>l && *1l && *2ang_best;*_best=*2;ang_best=ang;endendif l>*2;y=d;ang=atan((H-h)/(l+(H-y)*(h-y)/(l^2)));if ang>ang_best;*_best=l;ang_best=ang;endendsum_m=0;for i=1:n;*=l+(i-1)*c;sum_m=sum_m+e*p(-(*-*_best)^2);endsum_m=sum_m/n;mm(j)=sum_m;j=j+1;if sum_m>best_m;best_m=sum_m;best_t=t;endt=t+0.01;end %end whiledisp('平均满意度最大时，倾角为(单位为：度)：');disp(best_t);a=10:0.01:20;plot(a,mm);. z.。