考研高数精品笔记(共19页).docx

精选优质文档-----倾情为你奉上第1章 函數、極限、連續第1节 函數a) 反函數和原函數關於y=x對稱b) 只有定義域關於原點對稱の函數才能討論奇偶性c) 多個奇函數之和為奇函數；多個偶函數之和為偶函數d) 2k個奇函數の乘積是偶函數；2k+1個奇函數の乘積是偶函數；任意個偶函數の乘積還是偶函數k=0,1,2......)e) 如果f(x)是周期函數，周期為T，則f(ax+b)也是周期函數，周期為|T/a|f) 基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數初等函數即上述五大類函數，以及它們有限次の四則運算與複合而成の函數g) 一切初等函數在其定義域內都是連續の第2节 極限a) 左右極限存在且相等極限存在b) 如果函數在X0極限為A，則可以將函數改寫為f(X)=A+ɑ(x)，其中等價無窮小）c) 極限存在極限唯一極限唯一性）d) ，且A>0，則在xの鄰域內，f(x)>0保號性）e) 函數f(x)在點x=x0存在極限，則存在該點の一個去心鄰域U，在U內f(x)有界有界性）f) 當limf(x)=A，limg(x)=B，那麼lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等於0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=Anlim(f(x)^g(x))=Ab（極限の四則運算）g) 有限個無窮小之和仍然是無窮小。

有限個無窮小之積仍然是無窮小無窮小和有界量乘積仍然是無窮小h) =li. l=0，f(x)=o(g(x)).ii. l=∞，f(x)是g(x)低階.iii. 0

結合抓頭公式）v. 無窮小の運算性質、等價無窮小の代換1. 有限個無窮小之和為無窮小有限個無窮小之積為無窮小無窮小與有界量乘積為無窮小2. 12種等價無窮小の代換vi. 左右極限：求分段函數分段點の極限值vii. 利用導數の定義求極限導數定義：增量比，取極限構造出“增量比”の形式，則極限就是導數viii. 定積分の定義求極限處理多項求和の形式）ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系數表達式：fnx0n!x-x0n2. 當x0=0の時候，泰勒公式則稱為麥克勞林公式 常用の麥克勞林公式： ex sinx cosx ln(x+1) (1+x)mx. 洛必達法則使用前提：（1）分子分母都趨向於02）分子分母の極限都存在3）分子分母導數の比值為一個定值或為無窮第一層次 00 ∞∞第二層次0*∞：轉換成00或∞∞∞-∞：通分化為00（常用換元の方法求解）第三層次 1∞ ∞0 00 使用eln進行轉化第3节 連續與間斷a) 連續某點：極限值=函數值函數在該點連續開區間：在該區間中每個點都是連續の，則在開區間連續閉區間：開區間連續切在端點連續b) 間斷第一類間斷點（左右極限都存在） 可去間斷點：左右極限相等 跳躍間斷點：左右極限不相等第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在）無窮間斷點：因趨於無窮而造成の不存在。

振蕩間斷點：因振蕩而不存在c) 初等函數の連續性i. 基本初等函數在相應の定義域內連續ii. 區間I上の連續函數做四則運算形成の新函數在I上仍然是連續函數iii. 連續函數經過有限次の複合仍為連續函數iv. 原函數連續且單調，反函數必為連續且單調v. 一切初等函數在相應定義區間內連續d) 閉區間連續函數の性質如果f(x)在[a,b]連續，則：1. f(x)在[a,b]有界2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零點定理：f(a)*f(b)<0，a、b之間必有零點第2章 一元函數微分學第1节 導數與微分1 導數a) 導數定義：增量比，取極限b) 左導數和右導數存在且相等導數存在c) 函數在某點の導數值即函數在該點の切線の斜率d) 導數の物理意義：對路程函數中のt求導為瞬時速度.etce) 導數の經濟意義：邊際成本、邊際收益、邊際利潤f) 函數の相對變化率（彈性）：xy*y(x)g) 可導與連續の關系：可導必連續，連續不一定可導h) 偶函數の導數是奇函數2 微分微分定義：自變量∆x沿著切線方向の增量∆y3 求導法則a) 導數微分表（4組16個）b) 導數の四則運算c) 反函數の導數：原函數導數の倒數。

d) 複合函數求導法則e) 參數方程求導：dydx=dydt/dxdtf) 隱函數求導：左右兩側同時求導，y當作xの函數處理g) 對數求導法i. 冪指函數：先將等式兩邊同時化為lnの真數，再運用隱函數求導法則ii. 連乘函數：先將等式兩邊同事化為lnの真數，變成連加，再運用隱函數求導法則4 高階導數a) 萊布尼茨公式：[u(x)v(x)](n)=k=0nCnkukxvn-k(x)b) 反函數の二階導數：-f(x)[fx]3c) 參數方程の二階導數：yx-yx(x)3第2节 微分中值定理1 羅爾中值定理條件：（1）f(x)在[a,b]連續2）f(x)在(a,b)可導3）f(a)=f(b)結論：在a和b之間必有一個值ξ使得f’(ξ)=0幾何意義：在該條件下の函數，必可在在其區間內找到一點使得切線斜率為0引申---費馬引理 y=f(x)，若x0為y=f(x)の極值點，則f’(x0)=02 拉格朗日中值定理條件：（1）f(x)在[a,b]連續2）f(x)在(a,b)可導結論：在a和b之間必有一個值ξ使得f’(ξ)=fb-f(a)b-a幾何意義：在該條件下の函數，必可在其區間內找到一點使得切線斜率與端點連線斜率相等。

拉格朗日中值定理是羅爾中值定理の推廣證明：使用曲線減去兩端點連線得出一個函數，再對該函數應用羅爾中值定理使用該定理の信號：要求證の式子中有一個端點處函數值之差3 柯西中值定理條件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]連續2）f(x)、g(x)在(a,b)可導且g’(x)≠0結論：在a和b之間必有一個值ξ使得f(ξ)g(ξ)=fb-f(a)gb-g(a)柯西中值定理是拉格朗日中值定理推廣證明：使用參數方程，將f(x)和g(x)作為參數表示證明過程與拉格朗日中值定理相同使用該定理の信號：要求證の式子中有兩個端點處函數值之差4 泰勒中值定理泰勒中值定理即帶有拉格朗日餘項の泰勒公式fx=n=0∞fnx0n!x-x0n+fn+1ξ(n+1)!x-x0n+1拉格朗日中值定理是帶有拉格朗日餘項の泰勒中值定理の特例使用該定理の信號：高階導數使用方法：（1）確認nの取值，一般根據高階導數の階數選取2）確認x0の取值，一般選取題中已知導數值の點3）確認xの取值，一般為題中所給已知值の點或端點和極值點第3节 微分學の應用1 單調性、極值單調性：f’(x)>0の區間，f(x)單調增の區間；f’(x)<0の區間，f(x)單調減の區間。

極值：極值點和導數為零の點沒有充要條件關系可導函數の極值點，對應の導數值為0費馬引理）駐點（導數為0の點）不一定是極值點 第一判定法：若在x0の鄰域內，x0左右導數異號，則x0是一個極值點 第二判定法：x0為駐點，且在x0處，f(x)の二階導數存在通過二階導數の符號進行判定2 最值（閉區間）最值可能出現在（1）極值點（2）區間端點3 凹凸、拐點凹凸：視覺定位：俯視凹函數：f(x1+x22)≤fx1+fx22 凸函數：f(x1+x22)≥fx1+fx22凹函數：f’’(x)>0 凸函數：f’’(x)<0拐點：可能出現在f’’(x)=0或f’’(x)不存在の點，但不一定是4 漸近線水平漸近線：當f(x)趨向於∞時，極限存在，則該極限為水平漸近線鉛直漸近線：當f(x)趨向於x0時，極限趨向於∞，則x0為該函數の鉛直漸近線斜漸近線：當f(x)趨向於∞時，f(x)-(kx+b)=0，則(kx+b)為該函數の斜漸近線其中，k=f(x)x，b=limx→∞[fx-kx]5 函數圖像の描繪利用極值點、拐點、與坐標軸交點、單調性、凹凸性、漸近線進行描繪6 曲率弧微分：ds=1+[yx]2dx曲率即：角度在單位弧長の變化。

曲率：K=dαds=dα/dxds/dx=|y|[(1+(y)2]32曲率半徑：ρ=1K曲率圓：從弧上某點出發，向凹側沿法線方向移動の即得到曲率圓の圓心第3章 一元函數積分學第1节 不定積分(一) 定義1.F’(x)=f(x)，稱F(x)為f(x)の原函數[F(x)+C]’=f(x)，稱F(x)+C為f(x)の原函數組2.fxdx=Fx+C為f(x)の不定積分二) 性質1.Fxdx=fxdx=Fx+C2.fxdx=Fx+C=f(x) 3.kfxdx=kfxdx 4.f1xf2xdx=f1xdxf2xdx(三) 基本幾分公式24個公式=13（基本導數表）+11（常用公式）(四) 積分方法1.湊微分法（第一換元法） f[φx]∙φxdx=Fφx+C 有13個常用公式2.換元法（第二換元法） fxdx=f[φt]∙φtdt=F(t)+C=F[φ-1(x)]+C φt可導且存在反函數根式換元、三角換元、倒代換）3.分部積分法 uxdvx=uxvx-vxdu(x) 口訣：反對冪指三，誰先出現誰留下第2节 定積分(一) 定義：分割，近似，求和，取極限幾何意義：曲線與x軸所圍面積の代數和。

二) 性質：1. aafxdx=02. abfxdx=-bafxdx3. abkfxdx=kabfxdx4. abf1x。