习题十二1.写出下列级数的一般项:<1>;<2>;<3>;解:<1>; <2>; <3>;2.求下列级数的和:<1>;<2> ;<3>;解:<1>从而因此,故级数的和为<2>因为从而所以,即级数的和为.<3>因为从而,即级数的和为.3.判定下列级数的敛散性:<1> ;<2> ;<3> ;<4>;解:<1> 从而,故级数发散.<2> 从而,故原级数收敛,其和为.<3>此级数为的等比级数,且|q|<1,故级数收敛.<4>∵,而,故级数发散.4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:<1> ; <2> ;<3> .解:<1>当P为偶数时,当P为奇数时,因而,对于任何自然数P,都有,∀ε>0,取,则当n>N时,对任何自然数P恒有成立,由柯西审敛原理知,级数收敛.<2>对于任意自然数P,都有于是,∀ε>0<0<ε<1>,∃N=,当n>N时,对任意的自然数P都有成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.<3>取P=n,则从而取,则对任意的n∈N,都存在P=n所得,由柯西审敛原理知,原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.<1>;<2><3>; <4> ;<5>; <6> .解:<1>∵而收敛,由比较审敛法知收敛.<2>∵而发散,由比较审敛法知,原级数发散.<3>∵而收敛,故也收敛.<4>∵而收敛,故收敛.<5>当a>1时,,而收敛,故也收敛.当a=1时,,级数发散.当01时,原级数收敛,当0由知而发散,由比较审敛法知发散.6.用比值判别法判别下列级数的敛散性:<1> ; <2>;<3>;<1> 解:<1> ,,由比值审敛法知,级数收敛.<2> 所以原级数发散.<3> 所以原级数发散.<4> 故原级数收敛.7.用根值判别法判别下列级数的敛散性:<1> ; <2> ;<3> ;<4> ,其中an→a〔n→∞,an,b,a均为正数.解:<1>,故原级数发散.<2> ,故原级数收敛.<3>,故原级数收敛.<4> ,当ba时,>1,原级数发散;当b=a时,=1,无法判定其敛散性.8.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?<1>; <2>;<3> ;<4>; <5>;<6> .解:<1>,级数是交错级数,且满足,,由莱布尼茨判别法级数收敛,又是P<1的P级数,所以发散,故原级数条件收敛.<2>,为交错级数,且,,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于所以,发散,所以原级数条件收敛.<3>民,显然,而是收敛的等比级数,故收敛,所以原级数绝对收敛.<4>因为.故可得,得,∴,原级数发散.<5>当α>1时,由级数收敛得原级数绝对收敛.当0<α≤1时,交错级数满足条件:;,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时发散,所以原级数条件收敛.当α≤0时,,所以原级数发散.<6>由于而发散,由此较审敛法知级数发散.记,则即又由知,由莱布尼茨判别法,原级数收敛,而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.<1> ,x∈[-3,3]; <2> ,x∈[0,1];<3> ,x∈<-∞,+∞>; <4> ,|x|<5;<5> ,x∈<-∞,+∞>解:<1>∵,x∈[-3,3],而由比值审敛法可知收敛,所以原级数在 [-3,3]上一致收敛.<2>∵,x∈[0,1],而收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛.<3>∵,x∈<-∞,+∞>,而是收敛的等比级数,所以原级数在<-∞,+∞>上一致收敛.<4>因为,x∈<-5,5>,由比值审敛法可知收敛,故原级数在<-5,5>上一致收敛.<5>∵,x∈<-∞,+∞>,而是收敛的P-级数,所以原级数在<-∞,+∞>上一致收敛.10.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n.都有|Un|≤Vn,则当在Ⅰ上一致收敛时,级数在这区间Ⅰ上也一致收敛.证:由在Ⅰ上一致收敛知,∀ε>0,∃N<ε>>0,使得当n>N时,∀x∈Ⅰ有|Vn+1+Vn+2+…+Vn+p|<ε,于是,∀ε>0,∃N<ε>>0,使得当n>N时,∀x∈Ⅰ有|Un+1+Un+2+…+Un+p|≤Vn+1+Vn+2+…+Vn+p ≤|Vn+1+Vn+2+…+Vn+p|<ε,因此,级数在区间Ⅰ上处处收敛,由x的任意性和与x的无关性,可知在Ⅰ上一致收敛.11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:<1>x+2x2+3x3+…+nxn+…; <2>;<3>; <4>;解:<1>因为,所以收敛半径收敛区间为<-1,1>,而当x=±1时,级数变为,由知级数发散,所以级数的收敛域为<-1,1>.<2>因为所以收敛半径,收敛区间为<-e,e>.当x=e时,级数变为;应用洛必达法则求得,故有由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x=-e时,级数也发散,故收敛域为<-e,e>.<3>级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.所以当x2<1即|x|<1时,级数收敛,x2>1即|x|>1时,级数发散,故收敛半径R=1.当x=1时,级数变为,当x=-1时,级数变为,由知,发散,从而也发散,故原级数的收敛域为<-1,1>.<4>令t=x-1,则级数变为,因为所以收敛半径为R=1.收敛区间为-1; <2> ;解:<1>由知,当|x|=<1时,原级数收敛,而当|x|=1时,的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为<-1,1>.记易知的收敛域为<-1,1>,记则于是,所以<2>由知,原级数当|x|<1时收敛,而当|x|=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为<-1,1>,记,易知级数收敛域为<-1,1>,记,则,故即,,所以13.将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间:<1>f=ln<2+x>; <2>f=cos2x;<3>f=<1+x>ln<1+x>; <4>;<5>; <6>;<7>f=excosx;<8>.解:<1>由于,<-1故,<-2≤x≤2>因此,<-2≤x≤2><2>由,<-∞得所以,<-∞<3>f=<1+x>ln<1+x>由,<-1≤x≤1>所以 <-1≤x≤1><4>由于<-1≤x≤1>故<-1≤x≤1><5><6>由,x∈<-∞,+∞>得,x∈<-∞,+∞>所以<7>因为为的实部,而取上式的实部.得<-∞<8>由于|x|<1而,所以<|x|<2>14.将展开成的幂级数.解:而又所以15.将函数展开成的幂级数.解:因为所以<-1即16.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值:<1>ln3〔误差不超过0.0001; <2>cos20〔误差不超过0.0001解:<1>,x∈<-1,1>令,可得,故又故.因而取n=6则<2>∵;故17.利用被积函数的幂级数展开式,求定积分〔误差不超过0.001的近似值.解:由于,〔-1≤x≤1故而,,.因此18.判别下列级数的敛散性:<1>; <2>;<3> .解:<1>∵而故级数发散,由比较审敛法知原级数发散.<2>∵由比值审敛法知级数收敛,由比较审敛法知,原级数收敛.<3>∵由知级数收敛,由比较审敛法知,原级数收敛.19.若存在,证明:级数收敛.证:∵存在,∴∃M>0,使|n2Un|≤M,即n2|Un|≤M,|Un|≤而收敛,故绝对收敛.20.证明,若收敛,则绝对收敛.证:∵而由收敛,收敛,知收敛,故收敛,因而绝对收敛.21.若级数与都绝对收敛,则函数项级数在R上一致收敛.证:Un=ancosnx+bnsinnx,∀x∈R有由于与都绝对收敛,故级数收敛.由魏尔斯特拉斯判别法知,函数项级数在R上一致收敛.22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:<1> ; <2> ;<3> 解:<1>∴,又当时,级数变为,因为所以当,级数发散,故原级数的收敛半径,收敛域<-,>.<2> 故,又∵.所以当=±2时,级数发散,从而原级数的收敛域为-2<3> ∴,收敛区间-2,x∈[-3,+∞>; <2>,x∈<2,+∞>;<3> ,x∈<-∞,+∞>;解:<1>考虑n≥2时,当x≥-3时,有而收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在[-3,+∞>上一致收敛.<2>当x>2时,有由知级数收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在<2,+∞>上一致收敛.<3>∀x∈R有而收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在<-∞,+∞>上一致收敛.25.求下列级数的和函数:<1>; <2>;<3>; <4>.解:<1>可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,级数是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1]记则S1<0>=0,所以即S1=arctanx,所以S=xarctanx,x∈[-1,1].<2>可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,原级数发散.记则,即,S<0>=0所以,<|x|<1><3>由知收敛域为<-∞,+∞>.记则,所以,<-∞<4>由知收敛半径R=1,当x=1时,级数变为,由知级数收敛,当x=-1时,级数变为是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1].记则S<0>=0,,〔x≠1所以即即当x≠0时,,又当x=1时,可求得S<1>=1〔∵综上所述26.设f是周期为2π的周期函数,它在<-π,π]上的表达式为试问f的傅里叶级数在x=-π处收敛于何值?解:所给函数满足狄利克雷定理的条件,x=-π是它的间断点,在x=-π处,f的傅里叶级数收敛于27.写出函数的傅里叶级数的和函数.解:f满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f,在间断点x=0,x=±π处,分别收敛于,,,综上所述和函数.28.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f在[-π,π>上的表达式为:<1><2>;<3><4>.解:<1>函数f满足狄利克雷定理的条件,x=nπ,n∈z是其间断点,在间断占处f的傅里叶级数收敛于,在x≠nπ,有于是f。