版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形第2课时课件新版北师大版.ppt

2　直角三角形第2课时【【知识再现知识再现】】三角形全等的判定方法三角形全等的判定方法:SSS,:SSS,____________________,ASA,,ASA,________.________.  　　SASSAS　　　　　　AASAAS　　【【新知预习新知预习】】　阅读教材　阅读教材P18-19,P18-19,回答下列问题回答下列问题探究探究: :““HLHL””定理定理. .已知已知: :如图如图, ,在在Rt△ABCRt△ABC和和Rt△A′B′C′Rt△A′B′C′中中,∠C=∠C′,∠C=∠C′=90=90°°,AB=A′B′,BC=B′C′.,AB=A′B′,BC=B′C′.求证求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明证明: :在在Rt△ABCRt△ABC中中,∵∠C=90,∵∠C=90°°,∴,∴ACAC2 2=AB=AB2 2-BC-BC2 2(_____(______________)._________).  同理同理,A′C′,A′C′2 2=A′B′=A′B′2 2-B′C′-B′C′2 2(_____________).(_____________).  ∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(________).Rt△A′B′C′(________).  　勾　勾股定理　股定理　　勾股定理　　勾股定理　　　SSSSSS　　归纳归纳:(1):(1)斜边、直角边定斜边、直角边定理理(HL):_________________(HL):___________________________分别相等的两个直角三角形全等分别相等的两个直角三角形全等. .  (2)(2)符号语言符号语言: :如图如图, ,在在Rt△ABCRt△ABC和和Rt△A′B′CRt△A′B′C′′中中, ,∠C=∠C′=90∠C=∠C′=90°°, ,　斜边和一条直角　斜边和一条直角边　边　 ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)(3)(3)判断两个三角形判断两个三角形全等的方法全等的方法:①:①________________________________、、②②边角边边角边(SAS)(SAS)、、③③____________________________、、④④角边角角边角(ASA)(ASA)、、⑤⑤_____________________._____________________.  　　边边边边边边(SSS)(SSS)　　　　角角边角角边(AAS)(AAS)　　　　斜边、直角边斜边、直角边(HL)(HL)　　【【基础小练基础小练】】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧! !1 1. .下列可使两个直角三角形全等的条件是下列可使两个直角三角形全等的条件是( (　　 　　) )A.A.一条边对应相等一条边对应相等　　　　 B.B.两条直角边对应相等两条直角边对应相等C.C.一个锐角对应相等一个锐角对应相等　　　　D.D.两个锐角对应相等两个锐角对应相等B B2.2.如图如图, ,在在Rt△ABCRt△ABC中中,∠C=90,∠C=90°°,∠B=30,∠B=30°°,AB=4,,AB=4,则下则下列各图中的直角三角形与列各图中的直角三角形与Rt△ABCRt△ABC全等的是全等的是( (　　 　　) )A A3.3.如图如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,,MN∥PQ,AB⊥PQ,点点A,D,B,CA,D,B,C分别在直线分别在直线MNMN和和PQPQ上上, ,点点E E在在ABAB上上, ,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则则AB=______.AB=______.  　　7 7　　知识点一知识点一 斜边、直角边定理斜边、直角边定理(HL)(HL)【【典例典例1 1】】如图如图, ,在在△△ABCABC和和△△DCBDCB中中,∠A=∠D=90,∠A=∠D=90°°, ,AC=BD,ACAC=BD,AC与与BDBD相交于点相交于点O.O.(1)(1)求证求证:△ABC≌△DCB.:△ABC≌△DCB.(2)△OBC(2)△OBC是何种三角形是何种三角形? ?证明你的结论证明你的结论. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)在在Rt△ABCRt△ABC和和Rt△DCBRt△DCB中中, , ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). …………………………………………直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定(2)△OBC(2)△OBC是等腰三角形是等腰三角形. .理由是理由是: :∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,………………………………………………………………全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等∴∴OB=OC, OB=OC, ……………………等角对等边等角对等边∴△∴△OBCOBC是等腰三角形是等腰三角形. .【【学霸提醒学霸提醒】】 直角三角形全等应用的思路直角三角形全等应用的思路1 1. .由题目已知中的垂直或直角找出两个直角三角形由题目已知中的垂直或直角找出两个直角三角形. .2 2. .分析条件分析条件, ,证明两个直角三角形全等证明两个直角三角形全等. .3 3. .由全等三角形的性质得角或线段的相等关系由全等三角形的性质得角或线段的相等关系. .【【题组训练题组训练】】1.1.如图如图,AB⊥BC,AB⊥BC于点于点B,AD⊥DCB,AD⊥DC于点于点D,D,若若CB=CD,CB=CD,且且∠∠1=1=3030°°, ,则则∠∠BADBAD的度数是的度数是 ( (　　 　　) )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.90A.90°°B.60B.60°°C.30C.30°°D.15D.15°°B B★2.★2.如图如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据要根据““HLHL””证明证明Rt△ABE≌Rt△DCF,Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是则还需要添加一个条件是( (　　 　　) )A.AE=DFA.AE=DFB.∠A=∠DB.∠A=∠DC.∠B=∠CC.∠B=∠CD.AB=DCD.AB=DCD D★★3.★★3.如图如图, ,已知已知△△ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形,∠BAC=90,∠BAC=90°°, ,且且EC⊥ACEC⊥AC于点于点C,AE=BF.C,AE=BF.试判断试判断AEAE和和BFBF的位置关系的位置关系, ,并说并说明理由明理由. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号解解: :AE⊥BF,AE⊥BF,理由如下理由如下: :∵AE=BF,AB=AC,∵AE=BF,AB=AC,∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF,∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF,∵∠ABF+∠AFB=90∵∠ABF+∠AFB=90°°, ,∴∠CAE+∠AFB=90∴∠CAE+∠AFB=90°°, ,∴∠ADF=90∴∠ADF=90°°, ,即即AE⊥BF.AE⊥BF.知识点二知识点二 直角三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法【【典例典例2 2】】如图如图,AB=12,CA⊥AB,AB=12,CA⊥AB于点于点A,A,DB⊥ABDB⊥AB于点于点B,B,且且AC=4 m,PAC=4 m,P点从点从B B向向A A运运动动, ,每分钟走每分钟走1 m,Q1 m,Q点从点从B B向向D D运动运动, ,每分钟走每分钟走2 m,P,Q2 m,P,Q两两点同时出发点同时出发, ,运动运动　　　　　　　　分钟后分钟后△△CAPCAP与与△△PQBPQB全等全等. .  【【规范解答规范解答】】∵CA⊥AB∵CA⊥AB于点于点A,DB⊥ABA,DB⊥AB于点于点B,B,∴∠A=∠B=90°, ∴∠A=∠B=90°, …………………… 垂直定义垂直定义设运动设运动x x分钟后分钟后△△CAPCAP与与△△PQBPQB全等全等; ;则则BP=x m,BQ=2x m,BP=x m,BQ=2x m,则则AP=(12-x) m,AP=(12-x) m,………………………………………………………………未知量设法未知量设法分两种情况分两种情况: : ………………………………………………………………分类思想分类思想①①若若BP=AC,BP=AC,则则x=4,x=4,AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ, AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ, ……………………线段和差运算线段和差运算∴△∴△CAP≌△PBQ;CAP≌△PBQ; ……………………全等三角形判定全等三角形判定②②若若BP=AP,BP=AP,则则12-x=x,12-x=x,解得解得:x=6,BQ=12≠AC,:x=6,BQ=12≠AC,此时此时△△CAPCAP与与△△PQBPQB不全等不全等; ;综上所述综上所述: :运动运动4 4分钟后分钟后△△CAPCAP与与△△PQBPQB全等全等. .答案答案: :4 4【【题组训练题组训练】】1 1. .(2019(2019··广州海珠区模拟广州海珠区模拟) )下列判断一定正确的是下列判断一定正确的是( (　　 　　) )A.A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等等　　B.B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等A AC.C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等等　　D.D.有两边对应相等有两边对应相等, ,且有一个角为且有一个角为3030°°的两个等腰三角的两个等腰三角形全等形全等★2.★2.如图如图,△ABC,△ABC中中,AB=AC,BD⊥AC,AB=AC,BD⊥AC于点于点D,CE⊥ABD,CE⊥AB于点于点E,BDE,BD和和CECE交于点交于点O,AOO,AO的延长线交的延长线交BCBC于点于点F,F,则图中全等则图中全等的直角三角形有世纪金榜导学号的直角三角形有世纪金榜导学号( (　　 　　) )A.4A.4对对B.5B.5对对C.6C.6对对D.7D.7对对C C★3.★3.如图如图, ,已知已知AB⊥CD,AB⊥CD,垂足为垂足为B,DE⊥AC,B,DE⊥AC,若想判定若想判定△△ABC≌△DBE,ABC≌△DBE,则需要添加的一个则需要添加的一个条件是条件是______________________________________.________________.世纪金榜导学号世纪金榜导学号  　　DB=AB(DB=AB(或或DE=ACDE=AC或或BE=BC)BE=BC)　　★★4.★★4.如图如图:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°°,EF,EF过点过点C,C,BE⊥EFBE⊥EF于于E,DF⊥EFE,DF⊥EF于于F,BE=DF.F,BE=DF.求证求证:Rt△BCE≌Rt△DCF.:Rt△BCE≌Rt△DCF.世纪金榜导学号世纪金榜导学号证明证明: :连接连接BDBD, , ∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∵∠ABC=∠ADC=90°,∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC,∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC,∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠E=∠F=90°,∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠E=∠F=90°,在在Rt△BCERt△BCE和和Rt△DCFRt△DCF中中, , ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).【【火眼金睛火眼金睛】】已知已知, ,如图如图, ,在在△△ABCABC中中,DE⊥AB,DF⊥AC,,DE⊥AB,DF⊥AC,且且DE=DF,DE=DF,求求证证:AD:AD平分平分∠∠BAC.BAC.正解正解: :∵DE⊥AB,DF⊥AC,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED=∠AFD=90°,在在Rt△AEDRt△AED与与Rt△AFDRt△AFD中中, ,AD=AD,DE=DF,AD=AD,DE=DF,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴∠DAE=∠DAF,∴∠DAE=∠DAF,∴AD∴AD平分平分∠∠BAC.BAC.【【一题多变一题多变】】如图如图, ,在在△△ABCABC中中,∠BAC=90,∠BAC=90°°,AB=AC,,AB=AC,直线直线MNMN经过点经过点A,A,过点过点B B作作BD⊥MNBD⊥MN于点于点D,D,过点过点C C作作CE⊥MNCE⊥MN于点于点E.E.(1)(1)求证求证:△ABD≌△CAE.:△ABD≌△CAE.(2)(2)若若BD=12 cm,DE=20 cm,BD=12 cm,DE=20 cm,求求CECE的长度的长度. .解解: :(1)∵∠BAC=90°,(1)∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,又又∵∵BD⊥MN,CE⊥MN,BD⊥MN,CE⊥MN,∴∠BDA=∠AEC=90°,∠CAD+∠ACE=90°,∴∠BDA=∠AEC=90°,∠CAD+∠ACE=90°,∴∠BAD=∠ACE,∴∠BAD=∠ACE,又又AB=AC,AB=AC,在在△△ABDABD和和△△CAECAE中中, , ∴△ABD≌△CAE(AAS).∴△ABD≌△CAE(AAS).(2)∵△ABD≌△CAE,(2)∵△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,∴BD=AE,AD=CE,∵BD=12 cm,DE=20 cm,∵BD=12 cm,DE=20 cm,∴AE=12 cm,AD=AE+DE=12 cm+20 cm∴AE=12 cm,AD=AE+DE=12 cm+20 cm=32 cm,∴CE=32 cm.=32 cm,∴CE=32 cm.【【母题变式母题变式】】【【变式一变式一】】如图如图(1),(1),在在△△ABCABC中中,∠BAC=90,∠BAC=90°°,AB=AC,,AB=AC,DEDE是过是过A A的一条直线的一条直线, ,且点且点B,CB,C在在DEDE的同侧的同侧,BD⊥DE,BD⊥DE于于D D点点,CE⊥DE,CE⊥DE于于E E点点, ,(1)(1)求证求证:AD=CE.:AD=CE. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号(2)(2)求证求证:DE=CE+BD.:DE=CE+BD.(3)(3)若直线若直线DEDE绕绕A A点旋转到图点旋转到图(2)(2)位置时位置时, ,其余条件不变其余条件不变, ,问问BD,DE,CEBD,DE,CE之间的数量关系如何之间的数量关系如何? ?请说明理由请说明理由. .略略【【变式二变式二】】在在△△ABCABC中中,AB=AC,DE,AB=AC,DE是过点是过点A A的直线的直线,BD⊥,BD⊥DEDE于点于点D,CE⊥DED,CE⊥DE于点于点E.E.(1)(1)若若B,CB,C在在DEDE的同侧的同侧( (如图如图1 1所示所示) )且且AD=CE.AD=CE.求证求证:AB⊥AC.:AB⊥AC.(2)(2)若若B,CB,C在在DEDE的两侧的两侧( (如图如图2 2所示所示),),其他条件不变其他条件不变,AB,AB与与ACAC仍垂直吗仍垂直吗? ?若是请给出证明若是请给出证明; ;若不是若不是, ,请说明理由请说明理由. .解解: :(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,在在Rt△ABDRt△ABD和和Rt△ACERt△ACE中中, ,∵AB=AC,AD=CE,∵AB=AC,AD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.(2)AB⊥AC.证明如下证明如下: :同同(1)(1)一样可证得一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∴∠DAB=∠ECA,∵∠CAE+∠ECA=90°,∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即即∠∠BAC=90°,BAC=90°,∴AB⊥AC.∴AB⊥AC.。