第01章 集合与常用的逻辑用语（本章复习与检测）（解析版）.docx

2020-2021学年高一数学同步题型学案（新教材人教版必修第一册）第一章 集合与常用的逻辑用语1．6 本章温习与检测【知识系统整合】【规律方法总结】1．由集合的混合运算结果求变量在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时,要注意对求出的值进行验证,以保证满足集合中元素的互异性．2．集合与方程的综合集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的,直接求方程的解；二是含参数的,有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题．3．与集合有关的新定义问题(1)定义新集合要与集合定义类比解决．(2)定义新关系要与集合间关系类比解决．(3)定义新运算要与集合间的运算类比解决．4．充分条件与必要条件的理解及判定(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系,解决此类问题的基本步骤是：①确定条件是什么,结论是什么；②把复杂的条件(结论)化简；③尝试从条件推结论,从结论推条件；④确定是什么条件．(2)要证明命题的条件是充要条件,既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立,证明原命题成立就是证明条件的充分性,证明逆命题成立就是证明条件的必要性．5．全称量词命题与存在量词命题(1)确定命题中所含量词的意义,是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题．(3)要判定一个全称量词命题为真命题,必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立,一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题,只需举出一个反例即可．(4)要判定一个存在量词命题为真命题,只要在限定集合M中能找到一个x0,使p(x0)成立即可,否则这一存在量词命题为假命题．【高频考点提炼】一、集合的基本关系【例1】集合A＝{x|x＝a2－4a＋5,a∈R},B＝{y|y＝4b2＋4b＋3,b∈R},则下列关系正确的是(　　)A．A＝B　　　　　　　 　B．BAC．A⊆B D．BA【参考答案】B【解析】A＝{x|x＝(a－2)2＋1,a∈R},即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2,b∈R},即B中的元素y≥2,∴BA.【例2】已知集合A＝{x|04}【参考答案】C【解析】在数轴上标出A,B两集合如图所示,结合数轴知,若A⊆B,则a≥4.【解题指导】集合间的基本关系的关键点(1)∅：空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴解决此类问题．【易错提醒】求其中参数的取值范围时,要注意等号是否能取到．　　【变式1】．若集合A＝{2n＋1|n∈Z},集合B＝{4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是(　　)A．A∈B B．ABC．A∉B D．A＝B【参考答案】D【解析】：因为整数包括奇数与偶数,所以n＝2k或2k－1(k∈Z),当n＝2k时,2n＋1＝4k＋1；当n＝2k－1时,2n＋1＝4k－1,故A＝B.【变式2】．已知全集U＝R,A＝{x|3x－7≥8－2x},B＝{x|x≥m－1}．(1)求∁UA；(2)若A⊆B,求实数m的取值范围．【参考答案】见解析【解析】：(1)因为A＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3},又全集U＝R,所以∁UA＝{x|x<3}．(2)因为B＝{x|x≥m－1},且A⊆B,所以m－1≤3,所以m≤4,即实数m的取值范围是{m|m≤4}．二、集合的基本运算【例3】已知集合A＝{x|x<2},B＝{x|3－2x>0},则(　　)A．A∩B＝ B．A∩B＝∅C．A∪B＝ D．A∪B＝R【参考答案】A【解析】因为A＝{x|x<2},B＝{x|3－2x>0}＝,所以A∩B＝,A∪B＝{x|x<2}．【例4】已知集合M＝{(x,y)|y＝3x2},N＝{(x,y)|y＝5x},则M∩N中的元素个数为(　　)A．0 B．1C．2 D．3【参考答案】C【解析】联立解得或因此M∩N中的元素个数为2,故选C.【解题指导】集合基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的,从研究集合中元素的组成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决．(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．【变式1】已知集合M＝{x|－22}C．{a|a<2} D．{a|a≤2}【参考答案】A【解析】M＝{x|－2－2},T＝{x|－4≤x≤1},则(∁RS)∪T＝________.【参考答案】：{x|x≤1}【解析】：∵集合S＝{x|x>－2},∴∁RS＝{x|x≤－2},又∵T＝{x|－4≤x≤1},∴(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．【变式4】．设U＝R,A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|23或x<0”是“x>4”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【参考答案】B【解析】由x>3或x<0,此时得不出x>4,但当x>4时,不等式x>3或x<0恒成立,所以正确选项为B.【例6】设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【参考答案】A【解析】因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证,所以充分性满足,反之,不成立,如x＝y＝,满足x2＋y2≥4,但不满足x≥2且y≥2,所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分不必要条件．【解题指导】充要条件的常用判断方法(1)定义法：直接判断若p则q,若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与B⇒A,B⇒A与A⇒B,A⇔B与B⇔A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B,则A是B的充要条件．　　【变式1】已知命题p：4－x≤6,q：x≥a－1,若p是q的充要条件,则a＝________.【参考答案】－1【解析】由题意得p：x≥－2,q：x≥a－1,因为p是q的充要条件,所以a－1＝－2,即a＝－1.【变式2】．设x∈R,则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的(　　)A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【参考答案】A【解析】：　|x－2|<1⇔11或x<－2}的真子集,所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分条件．【变式3】．已知p：x≥k,q：<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是________．【参考答案】：{k|k>2}【解析】：<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件,则k>2.四、全称量词与存在量词【例7】(2020·广州二中期末)已知命题p：∀x∈R,x2－2x＋4≤0,则綈p为(　　)A．∀x∈R,x2－2x＋4≥0B．∃x∈R,x2－2x＋4>0C．∀x∉R,x2－2x＋4≤0D．∃x∉R,x2－2x＋4>0【参考答案】B【解析】改变量词,再否定结论,只有B项正确．【例8】设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B,则(　　)A．p：∃x∈A,2x∈B,且p是假命题B．p：∃x∉A,2x∈B,且p是真命题C．p：∃x∈A,2x∉B,且p是假命题D．p：∀x∉A,2x∉B,且p是真命题【参考答案】C【解析】命题的否定：∃x∈A,2x∉B,由于原命题是真命题,所以其否定是假命题．【解题指导】对全称量词命题和存在量词命题否定步骤和方法(1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题；(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．　　【变式1】．下列命题中是存在量词命题的是(　　)A．∀x∈R,x2>0 B．∃x∈R,x2≤0C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等【参考答案】B【解析】：　A含有全称量词∀,为全称量词命题,B含有存在量词∃,为存在量词命题,满足条件．C隐含有全称量词所有,为全称量词命题,D隐含有全称量词所有,为全称量词命题,故选B.【变式2】．命题“∀x∈R,|x|＋x2≥0”的否定是(　　)A．∀x∈R,|x|＋x2<0 B．∀x∈R,|x|＋x2≤0C．∃x∈R,|x|＋x2<0 D．∃x∈R,|x|＋x2≥0【参考答案】C【解析】：命题“∀x∈R,|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R,|x|＋x2<0”．【变式3】．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．【参考答案】：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0【解析】：把“至少有一个”改为“所有”,“满足”改为“都不满足”得命题的否定．【本章单元检测】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列语句是命题的是(　　)A．2x2＋3x－1>0 B．比较两数大小C．撸起袖子加油干！ D．cos45°＝【参考答案】D。