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高考真题突破：数学归纳法专题十三推理与证明第三十九讲数学概括法解答题1．（2017浙江）已知数列{xn}知足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)．证明：当nN*时（Ⅰ）0xn1xn；（Ⅱ）2xn1xn≤xnxn1；2（Ⅲ）1≤xn≤1．2n12n22．(2015湖北)已知数列{an}的各项均为正数，bnn(11nN)，e为自然对数的)an(nn底数．（Ⅰ）求函数f(x)1xex的单一区间，并比较(11)n与e的大小；n（Ⅱ）计算b1，b1b2，b1b2b3，由此推断计算b1b2bn的公式，并给出证明；a1a2a3a1a2a1a1a2an1（Ⅲ）令cn(a1a2an)n，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明：TneSn．3．(2014江苏)已知函数f0(x)sinx(x0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN．x（Ⅰ）求2f122f22的值；（2）证明：对随意的nN，等式nfn144fn422建立．．（2014安徽）设实数c0，整数p1，nN*．4（Ⅰ）证明：当x1且x0时，(1x)p1px；1p1ancan1p，（Ⅱ）数列an知足a1cp，an1pp1证明：anan1cp．5．（2014重庆）设a11,an1an22an2b(nN*)1/11（Ⅰ）若（Ⅱ）若b 1，求a2,a3及数列{an}的通项公式；b1，问：能否存在实数c使得a2nca2n1对全部nN*建立？证明你的结论．6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，此中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明以下命题：设a10,a20，b1,b2为正有理数.若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推行到一般形式，并用数学概括法证明你所推行的命题．．．．．．注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.72011湖南）已知函数f(x)x3，g(x)xx.．（（Ⅰ）求函数h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明原因；（Ⅱ）设数列{an}（nN*）知足a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数M，使得关于随意的nN*，都有an≤M．专题十三推理与证明第三十九讲数学概括法答案部分1．【分析】（Ⅰ）用数学概括法证明：xn0当n1时，x110假定nk时，xk0，那么nk1时，若xk1≤0，则0xkxk1ln(1xk1)≤0，矛盾，故xk10．所以xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1所以0xn1xn(nN*)（Ⅱ）由xnxn1ln(1xn1)xn1得2/11xnxn14xn12xnxn212xn1(xn12)ln(1xn1)记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x≥0)函数f(x)在[0,)上单一递加，所以f(x)≥f(0)=0，所以xn212xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)≥0故2xn1xn≤xnxn1(nN)2（Ⅲ）由于xnxn1ln(1xn1)≤xn1xn12xn1所以xn≥1得2n1由xnxn1≥2xn1xn得211110xn1≥2()2xn2所以11≥2(11)≥≥2n1(11)2n2xn2xn12x12故xn≤12n2综上，1≤xn≤1(nN)．2n12n2)，f(x)1ex．2．【分析】（Ⅰ）f(x)的定义域为(,当f(x)0，即x0时，f(x)单一递加；当f(x)0，即x0时，f(x)单一递减．故f(x)的单一递加区间为(,0)，单一递减区间为(0,)．当x0时，f(x)f(0)0，即1xex．1，得1111)n令xen，即(1e．①nnn（Ⅱ）b11(11112；b1b2b1b222(11222；a1)1a1a2a1a2)(21)312b1b2b3b1b2b3213(3343a1a2a3a1a2a333(1)1)．3由此推断：b1b2bn(n1)n．②a1a2an3/11下边用数学概括法证明②．（1）当n1时，左侧右侧2，②建立．（2）假定当nk时，②建立，即b1b2bk(kk．a1a2ak1)当nk1时，bk1(k1)(11k11，由概括假定可得)akk1b1b2bkbk1b1b2bkbk1(kk(k1)(11k12)k1．a1a2akak1a1a2。