高中数学必修1(北师版)第二章2.2 对函数的进一步认识知识点总结含同步练习与答案.pdf

描述： 高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案 第二章 函数 2.2 对函数的进一步认识 一、知识清单 函数的相关概念 函数的表示方法 映射 函数的定义域的概念与求法 函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法 分段函数 复合函数 二、知识讲解 1.函数的相关概念 函数的概念 设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ， 在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(?function)．记作： 其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变 量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域． 相同函数的概念 如果两个函数的自变量取值集合相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数为相同函 数．相同函数的图象是一致的，图象一致的函数必然是相同函数． 连续数集的区间表示 研究函数时常用到区间的概念．设 ， 是两个实数，而且 ，我们规定： ① 满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 ； ② 满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 ； ③ 满足不等式 的实数 的集合以及满足不等式 的实数 的集合都叫 做半开半闭区间，分别表示为 和 ． 这里的实数 与 都叫做相应区间的端点． 实数集的区间表示 实数集 可以用区间表示为 ，“ ”读作“无穷大”．我们可以把满足 ， ， ， 的实数 的集合分别表示为 ， ， ， ． ABfAx Bf(x)f : A → BAB y = f(x),x ∈ A. xAy xyx {y | y = f(x),x ∈ A} aba ax ⩽ bx 0 x 0, x ≠ −1x 0, Δ = (−6m−4m(m+8) ⩽ 0,)2 0 mm −5 ∈ (−∞,−2]−∈ (−2,2)3√−∈ (−∞,−2] 5 2 （2）①当 时，，所以 ，所以 不合题意，舍 去．②当 时，，即 ，所以 或 ．因为 ，，所以 符合题意． ③当 时，，所以 符合题意．综合 知，当 时， 或 ． （3）分三种情况： 或 或 解得 或 或 即 或 或 或 ，所以 或 ． 综上所述， 的取值范围是 ． ?如图所示，一动点 自边长为 的正方形 的顶点 出发，沿正方形边界运动一 周，再回到 点，若点 运动的路程为 ，点 到顶点 的距离为 ，求 、 两点间 的距离 与点 运动的路程 之间的函数关系式． 解：①当点 在 上，即 时，，即 ； ②当点 在 上，即 时，，，． 根据勾股定理 ，所以 ③当点 在 上，即 时，，，根据勾股定理 ?，所以 ④当点 在 上，即 时，有 综上所求函数关系式为 f(−5) = −5+1 = −4, f(−) = (−+2×(−) = 3−2,3√3√ )23√3√ f (f (−)) = f (−) =+2 × (−) =−3 = −. 5 2 3 2 (−) 3 2 2 3 2 9 4 3 4 a ⩽ −2f(a) = a +1a +1 = 3a = 2 −2 −2 m, {−2 m,m2 {m ≥ 2, 2m−1 m. m ⩽ 2{−2 0, {m ≥ 2, m 1. m ≤ −2−2 0 m(−∞,−1) ∪(0,+∞) P1ABCDA APxPAyAP yPx PAB0 ≤ x ≤ 1AP = xy = x PBC1 x ≤ 2AB = 1AB +BP = xBP = x−1 =+AP 2 AB2BP 2 y = AP ==;1+(x−1)2 −−− − − − − − − − √−2x+2 x2 −−− − −− − −− √ PCD2 x ≤ 3AD = 1DP = 3 −x =+AP 2 AD2DP 2 y = AP ==;1 +(3 −x)2 −−− − − − − − − − √−6x+10 x2 −−− − − − −− − − √ PAD3 x ≤ 4 y = AP = 4 −x. y = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x, ,−2x+2x2 −−− − −− − −− √ ,−6x+10x2 −−− − − − −− − − √ 4 −x, 0 ≤ x ≤ 1, 1 x ≤ 2, 2 x ≤ 3, 3 x ≤ 4. 描述： 例题： 8.复合函数 设 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域为 ，且 ．那么对于 内的任意一个 经过 和 有唯一确定的 值与 之对应，因此变量 与 之间通过变量 形成函数关系，记为 ，这种函数称 为复合函数，其中 称为自变量， 称为中间变量， 称为因变量． 高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

y = f(u)Duu = g(x)DxMx ⊆MxDuDxxu = g(x)y = f(u)y xyuy = f(g(x)) xuy 已知 ，，求：① ；② ． 解： ① ； ② ． f(x) = x2g(x) = x+1 f(g(x))g(f(x)) f(g(x)) = (x+1=+2x+1)2x2 g(f(x)) =+1x2 若函数 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 解：B ，，所以 ． f(x) = { ,x3 2x, x 6 x ⩾ 6 f(f(2)) 14161210 f(2) == 823f(8) = 2×8 = 16f(f(2)) = 16 设 ， 都是由 到 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 表1 映射 的对应法则 表2 映射 的对应法则 则与 相同的是 A． B． C． D． 解：A? fgAA f 原象 象 1 3 2 4 3 2 4 1 g 原象 象 1 4 2 3 3 1 4 2 f [g(1)] g[f (1)]g[f (2)]g[f (3)]g[f (4)] 。