D112对坐标曲线积分1ppt课件.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“大化小” “常代变”“近似和” “取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.目录 上页 下页 返回 结束 1) “大化小”.2) “常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿那么用有向线段 上任取一点在目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和”4) “取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分. 其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作目录 上页 下页 返回 结束 假设  为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 假设 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 那么那么• 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: :• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明: 下面先证下面先证存在, 且有目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧 ,同理可证目录 上页 下页 返回 结束 特别是, 假如 L 的方程为那么对空间光滑曲线弧  :类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取取 x 为参数为参数, 那么那么解法解法2 取取 y 为参数为参数, 那那么么从点的一段. 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为(2) 取 L 的方程为那么那么目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解解: (1) 原原式式(2) 原式(3) 原式目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设在力场设在力场作用下, 质点由沿 移动到解解: (1)(2)  的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中 为 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取取   的参数方程的参数方程目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线  上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) L－ 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算• 对有向光滑弧• 对有向光滑弧目录 上页 下页 返回 结束 4. 两类曲线积分的联系• 对空间有向光滑弧 :目录 上页 下页 返回 结束 原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:(解见 P198 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. 考虑考虑: 若题中若题中F 的方向的方向 改为与改为与OM 垂直且垂直且与与 y 轴夹锐角轴夹锐角,那么那么 目录 上页 下页 返回 结束 2. 知知为折线 ABCOA(如图), 计算提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P200 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 7第三节 。